Energía potencial de un anillo cargado [cerrado]

Question

Energía potencial de un anillo cargado [cerrado]

Física
electromagnetismo
energía potencial

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Considere un anillo de radio $R$ y densidad de carga $\rho$ . ¿Cuál será la energía potencial del anillo en su propio campo?

Lo mejor que puedo hacer:

d q = ρ R \cdot d α

$dq = \rho R \cdot \, d \alpha$

{mi}_{pag} = 2 π R \cdot 2 \int_{0}^{π - d α} \frac{ρ^{2} R^{2}}{r (α)} d α

$E_p = 2 \pi R \cdot 2 \int_{0}^{\pi - \delta \alpha} \frac{\rho^2 R^2}{r(\alpha)} \, d\alpha$

dónde

r (α) = \sqrt{2} R \sqrt{1 + porque (α)}

$r(\alpha) = \sqrt{2} R \sqrt {1+ \cos (\alpha)}$

Editar :

Esto está mal - $E_p$ Ni siquiera tiene las dimensiones correctas.

Respuestas (4)

Energía potencial de un anillo cargado [cerrado]

david z · Answer 1

Tienes básicamente la idea correcta. Solo para mayor claridad, permítanme recapitular la configuración: suponga que su anillo está centrado en el origen y orientado en el plano xy. Considere dos elementos diferenciales de carga, $\mathrm{d}q$ situado en $(R,0)$ , y $\mathrm{d}q'$ , situado en $(R\cos\phi,R\sin\phi)$ . La energía potencial de estos dos elementos de carga es

d^{2} tu = k \frac{d q d q^{'}}{r}

$\mathrm{d}^2U = k\frac{\mathrm{d}q\mathrm{d}q'}{r}$

La distancia entre las dos cargas diferenciales es

r = \sqrt{(R - R porque ϕ)^{2} + (R pecado ϕ)^{2}} = R \sqrt{2 - 2 porque ϕ}

$r = \sqrt{(R - R\cos\phi)^2 + (R\sin\phi)^2} = R\sqrt{2 - 2\cos\phi}$

Puede generalizar fácilmente esto para aplicarlo a dos elementos de carga diferenciales cualesquiera ubicados en ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ , simplemente reemplazando $\phi$ con la diferencia angular entre ellos, $\theta_1 - \theta_2$ .

Ahora, en teoría, debería poder determinar la energía potencial del anillo integrando todos los pares posibles de elementos de carga:

\begin{aligned} tu & = \iint d^{2} tu \\ = k \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{ρ R d θ_{1} ρ R d θ_{2}}{R \sqrt{2 - 2 porque (θ_{1} - θ_{2})}} \\ = k ρ^{2} R \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{d θ_{1} d θ_{2}}{\sqrt{2 - 2 porque (θ_{1} - θ_{2})}} \end{aligned}

$\begin{align}U &= \iint\mathrm{d}^2U\\ &= k\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\rho R\mathrm{d}\theta_1\rho R\mathrm{d}\theta_2}{R\sqrt{2 - 2\cos(\theta_1 - \theta_2)}}\\ &= k\rho^2 R\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta_1\mathrm{d}\theta_2}{\sqrt{2 - 2\cos(\theta_1 - \theta_2)}} \end{align}$

Pero vaya, adivina qué, ¡la integral no converge! Así que claramente no es tan fácil.

De hecho, tiene sentido que esta integral no converja. Piense en la energía potencial aportada por un par de elementos de carga $\mathrm{d}q_1$ y $\mathrm{d}q_2$ que están muy cerca unos de otros. el denominador de $\mathrm{d}^2U$ se vuelve muy pequeña, y cuando la separación se hace cero, la contribución a la energía potencial se vuelve infinita. Resulta que si está haciendo el cálculo equivalente para una distribución de carga de superficie o volumen, la "dispersión" de la carga en 2 o 3 dimensiones es suficiente para evitar que la integral diverja, pero no es así con una carga lineal. Entonces, la conclusión es que la energía potencial es infinita.

En la práctica, esto no es realmente un problema porque cualquier distribución de carga realista se construye juntando las piezas existentes. En realidad, nunca puede hacer que las piezas estén una al lado de la otra, por lo que no tiene el problema con $r = 0$ en el denominador. Sin embargo, a algunos teóricos les interesa averiguar qué está pasando con este tipo de situación y si tiene sentido en algún nivel fundamental tener una teoría en la que un cálculo simple y sensato como este resulte ser infinito.

Sí, esto es lo que recuerdo. ¿Sería también justo decir que un bucle de alambre infinitamente delgado tiene una capacitancia infinitamente pequeña? Eso suena mucho menos exótico en mi opinión. Creo que se puede decir lo mismo de una carga lineal infinita. A menudo buscamos el campo alrededor de una carga de línea, pero rara vez cuestionamos el potencial (por longitud) de la línea en sí.
¿Estás diciendo que todas (o casi todas) las distribuciones de carga en 1-D tienen un potencial infinito? Eso es raro.

jefe · Answer 2

Tenga en cuenta que la energía propia de Coulomb de un disco bidimensional (2D) con carga uniforme es FINITA. El siguiente artículo trata el mismo problema para un cilindro 3D. También da el resultado para el disco 2D así como un método de cálculo general que se puede adaptar fácilmente al caso del disco 2D: O. Ciftja, Physica B 407, 2803-2807 (2012) .

anonimo67 · Answer 3

el cargo total $Q$ corresponde al (gran) número de electrones $N=Q/e$ . supongamos que $N$ los electrones se distribuyen uniformemente en el anillo. Por fórmula clásica, la energía de interacción es igual a:

mi = \frac{norte}{2} \times \sum_{norte = 1}^{norte - 1} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{{mi}^{2}}{R pecado (norte \frac{π}{norte})}

$E=\frac{N}{2}\times\sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{R\sin(n\frac{\pi}{N})}$

= \frac{norte {mi}^{2}}{8 π ϵ_{0} R} \sum_{norte = 1}^{norte - 1} \frac{1}{pecado (norte π / norte)}

$=\frac{Ne^2}{8\pi\epsilon_0 R}\sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{\sin(n\pi/N)}$

\approx \frac{norte {mi}^{2}}{8 π ϵ_{0} R} \frac{norte}{π} \int_{π / (2 norte)}^{(2 norte - 1) π / 2 norte} \frac{d X}{pecado (X)}

$\approx\frac{Ne^2}{8\pi\epsilon_0R}\frac{N}{\pi}\int_{\pi/(2N)}^{(2N-1)\pi/2N}\frac{dx}{\sin(x)}$

\approx \frac{q^{2}}{8 π^{2} ϵ_{0} R} en \frac{broncearse ((2 norte - 1) π / 4 norte)}{broncearse (π / 4 norte)}

$\approx\frac{Q^2}{8\pi^2\epsilon_0R}\ln\frac{\tan((2N-1)\pi/4N)}{\tan(\pi/4N)}$

= \frac{q^{2}}{8 π^{2} ϵ_{0} R} en (\frac{1}{{broncearse}^{2} (π / 4 norte)})

$=\frac{Q^2}{8\pi^2\epsilon_0R}\ln(\frac{1}{\tan^2(\pi/4N)})$

\approx \frac{q^{2}}{4 π^{2} ϵ_{0} R} en (\frac{4 norte}{π})

$\approx\frac{Q^2}{4\pi^2\epsilon_0R}\ln(\frac{4N}{\pi})$

= \frac{q^{2}}{4 π^{2} ϵ_{0} R} en (\frac{4 q}{π mi})

$=\frac{Q^2}{4\pi^2\epsilon_0R}\ln(\frac{4Q}{\pi e})$

De hecho, la aproximación mediante el uso de la integral en lugar de la suma puede haber alterado significativamente la constante adimensional del resultado final.

Pero el resultado es finito, ¿cómo puede tener sentido esto?
En lugar de considerar la distribución de carga continua, consideré $N$ electrones discretos en el anillo, distribuidos en $N$ vértices de un regular $N$ -polígono

Adobe · Answer 4

gracias david Traté de reescribir Tu solución para el caso 2D. Así que suponga que el área interior del círculo también está cargada. Entonces:

$dq = r \rho \, d\alpha \, dr$

y la integral final es

$U = \frac{1}{2} \cdot \rho^2 \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} \int_{0}^{R} \frac{r_1 r_2 \, dr_1 \, dr_2 \, d\theta_1 \, d\theta_2 }{\sqrt{(r_1-r_2 \cos(\theta_1 -\theta_2))^2 + r_2^2 \sin^2 (\theta_1 -\theta_2)}}$

aquí $1/2$ tiene en cuenta la doble contabilización de las interacciones.

No puedo tomar esta integral, ni puedo tomar la tuya, pero puedo ver que hay casos en los que el denominador es igual a cero.

Me parece que tal enfoque siempre dará divergencia. Lo único que funciona es la ecuación de Poisson: da un potencial finito en 3D para una bola cargada (las partes internas también están cargadas).

La razón de esto podría ser la abstracción de $\rho$ - en realidad siempre tenemos electrones "discetos" - y si queremos tener eso en cuenta - tal vez tengamos que trabajar dentro de la teoría cuántica de la electricidad.

Si usa un potencial logarítmico en 2d, obtiene una respuesta convergente, igual que el potencial propio de un cilindro con densidad de carga uniforme en la superficie.

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david z

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