Dirección de la precesión del par de una rueda giratoria

Question

Dirección de la precesión del par de una rueda giratoria

Física
giroscopios
precesión
momento angular
mecanica clasica
dinámica de cuerpo rígido

martín

Considere una rueda giratoria, que se sostiene por un extremo de su eje de esta manera: Rueda giratoria de la hiperfísica

Para explicar por qué el cambio de momento angular está dirigido como se muestra en la figura anterior, generalmente se dice que hay un par aplicado $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ , dónde $\vec{r}$ es en este caso el radio vector desde el punto donde la cuerda está unida al centro de masa de la rueca y $\vec{F}$ es simplemente la fuerza gravitatoria que actúa sobre el centro de masa de la rueda. Entonces parece estar claro que debe apuntar en la dirección que se muestra en la figura.

Sin embargo, es posible ver esto sin aplicar la fórmula para el torque anterior. Estoy pensando en algo como esto:

Al aplicar la fuerza gravitatoria, uno movería el extremo libre del eje de la rueda un poco hacia abajo durante un tiempo muy pequeño, por lo que obtenemos el comienzo de una rotación cuyo vector de velocidad angular apunta en la misma dirección que el $\Delta L$ en la foto. Así obtenemos un momento angular adicional $\Delta \vec{L}$ en esta dirección, que cambia la dirección de todo el vector de momento angular $\vec{L}$ .

Sin embargo, no veo por qué el último " así " debe ser cierto, ya que, en general, la velocidad angular no tiene que apuntar en la misma dirección que el vector de momento angular.

Esto es cierto para la rotación sobre el eje de la rueda, ya que este es un eje principal del tensor de inercia (que es necesario para justificar que el eje de rotación debe girar, cuando gira el vector de momento angular), pero la rotación (inicial/infinitesimal) arriba no parece estar alrededor de un eje principal.

Entonces, sería genial si alguien pudiera hacer que la argumentación que probé sea más clara y más rigurosa y aclarar el problema descrito anteriormente.

qmecanico

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/q/8656/2451

martín

@Qmechanic Solo está relacionado, no es un duplicado

Pigmalión

no entiendo la pregunta Para mí está todo perfectamente claro y creo que también está perfectamente claro para ti. Tal vez deberías notar que el cambio de momento angular es

d \vec{L}

$\text{d}\vec{L}$ cantidad infinitesimal, por lo que no es necesario resolver las ecuaciones de Euler para corregir todo.

martín

@Pygmalion es un infinitesimal

d \vec{L}

$d\vec{L}$ en todos los casos en la misma dirección que el infinitesimal correspondiente

d ω

$d\omega$ ? Si es así, ¿por qué?

Pigmalión

\vec{L} = I \vec{ω}

$\vec{L} = I \vec{\omega}$ no es una expresión general para el momento angular. Solo es cierto para la rotación del eje fijo. te sugiero que te olvides

ω

$\omega$ por un momento una mirada solo para

\vec{τ} = d \vec{L} / d t

$\vec{\tau} = \text{d}\vec{L}/\text{d}t$ que es fórmula general y es siempre válida.

martín

Usar torque es la forma en que lo entiendo, vea mi pregunta, pero también quiero entenderlo de otra manera como se describe anteriormente.

Respuestas (5)

Dirección de la precesión del par de una rueda giratoria

no entiendo la pregunta Para mí está todo perfectamente claro y creo que también está perfectamente claro para ti. Tal vez deberías notar que el cambio de momento angular es $\text{d}\vec{L}$ cantidad infinitesimal, por lo que no es necesario resolver las ecuaciones de Euler para corregir todo.
@Pygmalion es un infinitesimal $d\vec{L}$ en todos los casos en la misma dirección que el infinitesimal correspondiente $d\omega$ ? Si es así, ¿por qué?
$\vec{L} = I \vec{\omega}$ no es una expresión general para el momento angular. Solo es cierto para la rotación del eje fijo. te sugiero que te olvides $\omega$ por un momento una mirada solo para $\vec{\tau} = \text{d}\vec{L}/\text{d}t$ que es fórmula general y es siempre válida.
Usar torque es la forma en que lo entiendo, vea mi pregunta, pero también quiero entenderlo de otra manera como se describe anteriormente.

cleonis · Answer 1

Hay un artículo escrito por Svilen Kostov y Daniel Hammer titulado ' Tiene que bajar un poco para dar la vuelta ' que aborda precisamente la pregunta que usted hace aquí.

La idea del artículo surgió de una discusión sobre el movimiento del giroscopio en las Conferencias Feynman sobre física.

Kostov y Hammer discuten que, como dices, la fuerza gravitatoria mueve un poco hacia abajo el extremo libre del eje de la rueda. También crearon una configuración experimental para demostrar la inmersión. Encontraron muy buena concordancia entre la teoría y el resultado experimental.

El enlace al periódico está roto. Aquí hay otro enlace: arxiv.org/pdf/1007.5288.pdf

usuario1631 · Answer 2

Tiene razón al observar que a menudo hay una suposición no declarada en la configuración estándar de este problema. Cuando se presenta este problema, se supone que debe asumir que los componentes de la velocidad angular fuera del eje principal hacen una contribución a L que es insignificante en comparación con la velocidad angular en el eje. Obviamente, esta es una buena suposición si la parte superior gira lo suficientemente rápido, pero no es exactamente cierto.

Si comienza con la condición inicial, que la velocidad angular de la peonza está completamente alineada con su eje mayor en el momento de la liberación, debe encontrar que el eje mayor de la peonza en realidad no gira uniformemente en un círculo, sino que hay una sinusoidal muy pequeña. variación sobre el movimiento circular uniforme.

Pigmalión · Answer 3

Lo que veo aquí en la imagen es que la fórmula

τ = I α

$\tau = I \alpha$

probablemente no sea aplicable para esta situación. Esto es porque $\omega$ es constante, es decir $\alpha = 0$ !

Esta situación es análoga a la rotación circular con velocidad constante . ahí tienes la velocidad $\vec{v}$ , cuya magnitud es constante, pero su dirección cambia constantemente. Aceleración $\vec{a}$ siempre es perpendicular a la velocidad.

Aquí tienes el momento angular $\vec{L}$ , cuya magnitud es constante, pero su dirección cambia constantemente. Esfuerzo de torsión $\vec{\tau}$ siempre es perpendicular a la velocidad.

sombreado ammar · Answer 4

El momento resultante en el cuerpo es el momento en la dirección x debido al peso, por lo que el cambio en el momento angular del cuerpo debe ser solo en la dirección x para lograr que a partir de las ecuaciones de rotación (ecuaciones de Euler) encontramos que el cuerpo debe estar en constante precesión (nutación = 0, precesión = constante, giro = constante) y el momento resultante debería ser en este caso (en la dirección x):

M = I * giro * precesión = Momento del peso

por lo que el cuerpo modifica su precesión para ser un valor específico

neil libertino · Answer 5

El momento angular de la rueda debido al giro está en la dirección radial del eje de la rueda, $\vec L=L\hat e_r$

Torque producido debido al tirón hacia abajo del centro de masa y perpendicular a la dirección radial y vertical de las coordenadas cilíndricas,

\vec{τ} = \vec{r} \times {\vec{F}}_{gramo} = - metro gramo r ({\hat{mi}}_{r} \times \hat{z}) = τ (\hat{z} \times {\hat{mi}}_{r})

$\vec\tau=\vec r\times \vec f_g=-mgr(\hat e_r\times \hat z)=\tau(\hat z\times \hat e_r)$ El par causa un cambio en el momento angular de la rueda, pero como el par es perpendicular al momento angular, solo hay un cambio en la dirección del momento angular y no en su dirección. Entonces,

\vec{τ} = \dot{\vec{L}} = L \dot{{\hat{mi}}_{r}} \Rightarrow \dot{{\hat{mi}}_{r}} = \frac{τ}{L} (\hat{z} \times {\hat{mi}}_{r})

$\vec\tau=\dot{\vec L}=L\dot{\hat e_r}\Rightarrow \dot{\hat e_r}=\frac{\tau}{L}(\hat z\times \hat e_r)$ Ahora,

\dot{{\hat{e}}_{r}} = {\vec{ω}}_{p} \times {\hat{e}}_{r} .

$\quad \dot{\hat e_r}=\vec \omega_p\times \hat e_r.\quad$ Por lo tanto,

{\vec{ω}}_{pag} = \frac{τ}{L} \hat{z} = ω_{pag} \hat{z}

$\vec\omega_p=\frac{\tau}{L}\hat z=\omega_p\hat z$

ω_{p}

$\omega_p$ es el eje de la rueda de velocidad se mueve en movimiento circular en el plano horizontal y la dirección del plano es hacia arriba o contra la gravedad y se denomina velocidad angular de precesión de la rueda.

Además, en el extremo de contacto del eje de la rueda, hay un par descendente $\vec\tau_p=-\tau\hat z$ , en la dirección de la gravedad se produce debido al movimiento de precesión que es igual en magnitud al par que cambia el momento angular de la rueda y mantiene el extremo libre del eje de la rueda hacia arriba contra la gravedad. La velocidad angular de precesión es constante. $\omega_p=\sqrt g$ , tanto en magnitud como en dirección. Por lo tanto, aumentar o disminuir el giro de la rueda solo cambia el par.

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