Dinámica del momento de inercia

De hecho, hay un término que involucra la derivada temporal del acoplamiento cambiante entre las masas.

Primero, derivemos la ecuación para una sola masa.

$$L = \frac{1}{2} I\, \dot{\theta}^2 - V(\theta)$$

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = I\, \dot{\theta}$$

$$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -\frac{dV}{d\theta} = \tau$$

$$\tau = \frac{d}{dt} \left( I\, \dot{\theta} \right) = I\, \ddot{\theta}$$

Esto te muestra que la aceleración angular es proporcional al par.

Ahora, supongamos que tenemos dos masas. La masa impulsada tiene un momento de inercia$I_1$y velocidad angular$\dot{\theta}$. La masa secundaria tiene momento de inercia.$I_2$y velocidad angular$\dot{\theta_2} = a(t)\, \dot{\theta}$, dónde$a(t)$es el acoplamiento cambiante (por ejemplo, un cambio de posición de la correa en una transmisión continuamente variable).

$$L = \frac{1}{2} I_1\, \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} I_2\, a(t)^2\, \dot{\theta}^2 - V(\theta)$$

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \left( I_1 + a(t)^2 I_2 \right) \dot{\theta}$$

$$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -\frac{dV}{d\theta} = \tau$$

$$\tau = \frac{d}{dt} \left( \left( I_1 + a(t)^2 I_2 \right) \dot{\theta} \right)$$

$$\tau = \left( I_1 + a(t)^2 I_2 \right) \ddot{\theta} + 2 I_2\, a(t) \frac{da}{dt} \dot{\theta}$$

El último término, proporcional a$a \dot{a} \dot{\theta}$, es el término gracioso que estás buscando. Dice que cuando el acoplamiento está cambiando, debe aplicar un par de torsión solo para mantener la velocidad angular$\dot{\theta}$constante. Otra forma de verlo es que, en ausencia de par externo,$\dot{\theta}$ya no es constante (como lo era para la masa única), sino que en su lugar$(I_1 + a(t)^2 I_2) \dot{\theta}$es constante, porque ese es el momento angular real.

Considere dos masas giratorias ( 1) y ( 2) con un par$\tau$aplicado en ( 1) solamente.

Si define algún tipo de acoplamiento entre los dos, con velocidades angulares resultantes$\omega_2 = \gamma \omega_1$entonces, dado que la potencia se conserva en el acoplamiento, los dos pares de torsión son$T_2 = \frac{1}{\gamma} T_1$tal que el producto$T_1 \omega_1 = T_2 \omega_2$es igual en ambos extremos.

Derivando las velocidades angulares se obtiene

$$\alpha_2 = \gamma \alpha_1 + \dot{\gamma} \omega_1$$

La suma de los pares en masa ( 1) es

$$\tau - T_1 = I_1 \alpha_1$$ , y para masa ( 2) $$T_2 = I_2 \alpha_2$$ . Sustituyendo lo anterior en la segunda ecuación se obtiene el par de reacción $T_1 = \gamma I_2 (\gamma \alpha_1 + \dot{\gamma} \omega_1 )$y entonces el gran resultado es

$$\alpha_1 = \frac{ \tau - I_2 \omega_2 \dot{\gamma} } {I_1 + \gamma^2 I_2 }$$

Entonces, la ventaja mecánica cuenta dos veces (potencia de 2), una por el movimiento y otra por la amplificación del par para producir el momento de inercia de la masa efectiva .$I_{eff} = I_1 + \gamma^2 I_2$(ignorando los efectos de velocidad).