¿Por qué el momento angular de un objeto alrededor de su eje es igual al de un eje paralelo que no se mueve?

El momento angular no es una cantidad que se sostiene por sí misma. El momento angular no describe el eje de rotación ni nada específico con el movimiento en general. El momento angular solo describe dónde actúa el momento de traslación en el espacio. En cierto modo, el momento angular es solo el momento del momento . Análogo a cómo el par es el momento de una fuerza.

Los dos tienen la misma definición.

$$\begin{aligned} \boldsymbol{L} & = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} & \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \end{aligned}$$

donde el$\boldsymbol{r}\times$parte, literalmente, solo considera la distancia perpendicular al eje de impulso (eje de percusión) o al eje de fuerza (línea de acción).

Pero espera, ¿no es el momento traslacional siempre a través del centro de masa ya que$\boldsymbol{p} = m \, \boldsymbol{v}_{\rm CM}$.

Una forma de definir el impulso es dónde y cuánto golpear algo para detener completamente su movimiento . El impulso requerido tiene que actuar a lo largo del eje del momento y es de magnitud igual y opuesta al momento. Por lo tanto, el impulso eliminaría instantáneamente tanto el impulso de traslación como el de rotación.

Entonces, una bala voladora necesita un impulso de$-\boldsymbol{p}$a través del centro de masa y se detendrá instantáneamente.

Como una fuerza$\boldsymbol{F}$a través del centro de masa tendría un par equivalente de$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$, el momento$\boldsymbol{p}$del cuerpo tiene un momento de rotación equivalente de$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$.

A la inversa, la presencia de un par$\boldsymbol{\tau}$indica que se aplica una fuerza compensada, al igual que la presencia de un momento de rotación indica que el eje del momento está desplazado del origen.

La ubicación de la línea de acción, o el eje de percusión también se encuentra por la misma expresión

$$\begin{aligned} \boldsymbol{r} & = \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L} }{ \| \boldsymbol{p} \|^2 } & \boldsymbol{r} & = \frac{ \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau}} {\| \boldsymbol{F} \|^2} \end{aligned}$$

Así que ahora veamos un sólido con un momento de inercia de masa. Mire la piedra utilizada para rizar mientras se traslada y gira sobre una superficie horizontal (casi) sin fricción.

Si tuviera que detener el movimiento de la piedra y simplemente la pateara a lo largo de su centro de masa, detendría el impulso de traslación, pero seguiría girando manteniendo su impulso de rotación.

Tendrías que patearlo, desplazado desde el centro de masa para detener todo movimiento. ¿Por cuánto compensación?

Aquí es donde brilla el impulso de rotación. La piedra tiene un momento de rotación intrínseco alrededor del centro de masa de

$$\boldsymbol{L}_{\rm CM} = \mathbf{I}_{\rm CM} \boldsymbol{\omega}$$ y la ubicación del desplazamiento se encuentra mediante las ecuaciones anteriores

$$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}_{\rm CM}} { \| \boldsymbol{p} \|^2 }$$

Ahora esto se puede simplificar a lo siguiente$\| \boldsymbol{r} \| =r = \frac{I \omega}{m v} = \frac{I}{m c}$dónde$I$es el momento de inercia de la masa con respecto al eje de giro,$m$es la masa y$c$es la distancia entre el centro de rotación instantáneo (dado que la piedra gira y se traslada al mismo tiempo) y el centro de masa.

Esto es similar al billar donde golpeas una bola blanca en un desplazamiento$r$para adquirir "english" o "spin". El centro de rotación resultante está en$c = \frac{I}{m r}$.

Visto desde el origen, el momento de rotación tiene dos partes, una porque el centro de masa se desplaza desplazado hacia el origen y la segunda debido a su propio giro.

$$\boldsymbol{L} = \mathbf{I}_{\rm CM} \boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{r}_{\rm CM} \times \boldsymbol{p}$$

Este es el mismo cálculo de momento angular que se realiza para la Tierra vista desde el sol, con componentes tanto en órbita como en rotación.

En resumen, el momento de rotación$\boldsymbol{L}$se usa para encontrar dónde está el eje de impulso (eje de percusión) en el espacio usando la relación

$$\boxed{ \boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}} { \| \boldsymbol{p} \|^2 }}$$

Este eje es significativo ya que describe el estado de momento de un cuerpo rígido. Un impulso aplicado a lo largo del eje, con una magnitud igual y opuesta al momento de traslación, detendría completa e instantáneamente un cuerpo rígido.

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Hay un caso especial para un objeto puramente giratorio, donde una sola aplicación de impulso detendría la rotación pero también impartiría movimiento de traslación. Entonces, en este caso, necesita un par de impulsos (dos impulsos iguales y opuestos compensados ​​entre sí), al igual que un par de fuerzas produce un par.

Incluso si un objeto está acelerando, puede tomar los pares sobre el centro de masa (CM) considerando solo las fuerzas en el marco de inercia; utilizando cualquier punto del objeto que no sea el CM para evaluar los pares, debe considerar las fuerzas no inerciales en el marco de referencia de aceleración.

Si selecciona un punto fijo (el punto Q en su referencia) sobre el cual evaluar el momento angular de un cuerpo rígido, se puede demostrar que el momento angular es la suma del momento angular del CM sobre ese punto más el momento angular impulso del objeto en relación con el CM como se afirma en su referencia.

El texto Mecánica, de Symon, deriva las relaciones específicas para el momento angular de un sistema de partículas, siendo un cuerpo rígido un caso especial. Esto se desprende de la manipulación de la definición básica de momento angular aplicada a un sistema de partículas; definida específicamente como la suma de los momentos angulares de cada partícula. El momento angular es algo complicado porque depende específicamente del punto elegido para calcular la cantidad.