Casos en los que la velocidad angular y el momento angular apuntan en la misma dirección

No hay "otros" ejemplos. la condición que$\vec \omega$y

$$\vec L = I_{\rm tensor} \cdot \vec \omega$$ apuntar a la misma dirección, es decir $$(\vec L=) I_{\rm tensor} \cdot \vec \omega = k \vec \omega$$ dónde $k$es un número real (y ya no es un tensor) es una definición de un vector propio de $I_{\rm tensor}$: ambos $\vec \omega$y $\vec L$son vectores propios del momento de inercia en tal caso.

Los vectores propios del tensor del momento de inercia se denominan ejes principales. Siempre se pueden elegir para que sean ortogonales entre sí y el tensor tiene la forma

$$I_{\rm tensor} = {\rm diag} (I_1,I_2,I_3)$$ en el sistema de coordenadas dado por estos ejes principales. En un caso genérico, los tres ejes principales están determinados únicamente por el tensor (y se puede demostrar que los ejes son ortogonales entre sí, como vectores propios de cualquier operador hermitiano).

La única sutileza aparece si algunas de las entradas$I_1,I_2,I_3$coincidir. Si dos de ellos son iguales, cualquier combinación de los dos vectores es un vector propio y hay libertad para elegir estos dos ejes principales (el tercer eje correspondiente a un valor propio diferente sigue sin ser ambiguo).

Si$I_1=I_2=I_3$, entonces el tensor es proporcional a la matriz unitaria y cualquier vector es un vector propio de ella con el mismo valor propio$I_1=I_2=I_3$. En ese caso, la elección de los ejes principales es totalmente arbitraria. Si coinciden 2 o 3 valores propios, la ortogonalidad de la base no está garantizada, pero aún así normalmente imponemos las condiciones adicionales de que los "ejes principales" deben ser ortogonales entre sí.

Uno podría discutir varios ejemplos: formas particulares con tensores particulares del momento de inercia. Pero el hecho importante aquí es que a los efectos del espín y del momento angular, solo importa el tensor del momento de inercia. Se puede calcular a partir de cualquier distribución de materia, pero todo lo demás además de las direcciones de los tres ejes y los tres valores propios.$I_1,I_2,I_3$es irrelevante para las discusiones sobre el momento angular.