Componente del momento angular perpendicular al eje de rotación en la rotación de un cuerpo rígido

Coloque un sistema de coordenadas en O orientado tal que$\boldsymbol{r}_i = (x_i,0,z_i)$. El cuerpo gira con$\boldsymbol{\omega} = (0,0,\Omega)$y acelerando con$\boldsymbol{\alpha} = (0,0,\dot\Omega)$sobre el eje z , y la masa m _i se encuentra en el plano xz .

Entonces el momento lineal de m _i es

$$\boldsymbol{p}_i = -m_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{\omega} = (0,m_i\, \Omega\, x_i,0)$$

El momento angular de m _i con respecto al origen O es

$${\boldsymbol{L}_i}_O = \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{p}_i = (-m_i \Omega x_i z_i,0,m_i \Omega x_i^2)$$

El componente del que estás hablando está a lo largo del eje y (perpendicular a la rotación y r _i ) y es cero. Pero eso no significa que el par sobre este eje sea cero (en realidad garantiza que no es cero). Además, la componente hacia P es$\propto \Omega$y el radio de giro$x_i$.

La fuerza total aplicada sobre m _i se encuentra a partir de la derivada sobre un marco giratorio con$\Omega$no constante

$$\boldsymbol{F}_i = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \boldsymbol{p}_i = \left(\frac{\partial \boldsymbol{p}_i}{\partial \Omega}\right) \dot{\Omega} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{p}_i = (-m_i \Omega^2 x_i , m_i \dot{\Omega} x_i ,0)$$

Lo anterior es básicamente fuerza centrífuga a lo largo de x y fuerza tangencial a lo largo de y .

El momento de torsión con respecto al origen es similar

$${\boldsymbol{M}_i}_O = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} {\boldsymbol{L}_i}_O = \left(\frac{\partial {\boldsymbol{L}_i}_O}{\partial \Omega}\right) \dot{\Omega} + \boldsymbol{\omega} \times {\boldsymbol{L}_i}_O = ( -m_i \dot{\Omega} x_i z_i, -m_i \Omega^2 x_i z_i, m_i \dot{\Omega} x_i )$$

Si el cuerpo no está acelerando rotacionalmente, el par es solo sobre el eje y${\boldsymbol{M}_i}_O = (0,-m_i \Omega^2 x_i z_i,0)$. Así que aquí hay una situación con un momento aplicado perpendicularmente al eje de rotación y la magnitud de la rotación no cambia.

Creo que tienes un error matemático en alguna parte si estás llegando a una conclusión diferente. Puede verificar lo anterior derivando la matriz de inercia de 3 × 3 sobre O como

$${\mathtt{I}_i}_O = m_i \begin{vmatrix} y_i^2+z_i^2 & -x_i y_i & -x_i z_i\\ -x_i y_i & x_i^2+z_i^2 & -y_i z_i \\ -x_i z_i & -y_i z_i & x_i^2+y_i^2 \end{vmatrix}$$

Puedes verificar que

$${\boldsymbol{M}_i}_O = {\mathtt{I}_i}_O \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times {\mathtt{I}_i}_O \boldsymbol{\omega}$$

que son las ecuaciones de Euler del movimiento de rotación.

PD. Tratar de hacer dinámicas 3D componente por componente es tedioso y propenso a errores.