Resolviendo numéricamente la ecuación de Poisson 2D por FFT, unidades propias

La ecuación de Poisson 2D es:

(1)

$$\frac{d^2\varphi(x,y)}{dx^2}+\frac{d^2\varphi(x,y)}{dy^2}=-\frac{\varrho(x,y)}{\epsilon_0\epsilon}$$

Y en$k$-espacio es en forma de:

(2)

$$(k_x^2+k_y^2) \phi(k_x,k_y)=-\frac{\rho(k_x,k_y)}{\epsilon_0\epsilon}.$$

Para resolver numéricamente utilizo FFT compleja (biblioteca FFTW en C). Para un área de tamaño físico L y una cuadrícula de tamaño N (const. de cuadrícula h=L/N), coordenadas discretas y límites periódicos, tengo:

(3)

$$\rho[k_x,k_y]=\frac{1}{N^2}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}\varrho[x,y]e^{-j2\pi(xk_x+yk_y)/N}$$

Puedo multiplicar ambos lados por$-\frac{1}{\epsilon\epsilon_0}$, luego dividiendo$\rho[k_x,k_y]$por$(k_x^2+k_y^2)$en cada punto (teniendo en cuenta que la salida FFT es simétrica sobre$k_{x}$= N/2 y$k_y$= N/2) obtengo$\phi[k_x,k_y]$. Por FFT inversa:

(4)

$$\varphi[x,y]=\sum_{k_x=0}^{N-1}\sum_{k_y=0}^{N-1}\phi[k_x,k_y]e^{j2\pi(xk_x+yk_y)/N}$$ Obtengo potencial 2D proveniente de la densidad de carga. $\varrho$. Pero me falta algún factor de escala en las definiciones anteriores y no puedo resolverlo. En resumen, qué hacer para hacer coincidir las unidades SI en las definiciones anteriores para que encajen, tanto en términos de transformada de Fourier como resultado real de $\varphi$. Mi principal preocupación es que si ingreso la carga de prueba de densidad $\varrho(x,y)=\frac{e}{h^2}\delta[x,y]$en unidades de $C/m^2$en medio de la zona con $L=10^{-6}m$Espero una salida similar al potencial de Coulomb $\frac{1}{r}\frac{e}{4\pi\epsilon\epsilon_0}$, pero la solución difiere en muchos órdenes. ¿Por qué?

Así que creo que puede ser un problema dividir por k. ¿Cuál debería ser k para esta definición de transformada discreta? Por ejemplo$k=2\pi h/L$o$k=2\pi x/N$