Dimensión del vector resultante del producto tensorial

No es de extrañar que estés confundido; obviamente, el autor también lo estaba.

Primero, las operaciones de las que habla son de suma directa.$U\oplus V$y producto tensorial$U\otimes V$de espacios vectoriales. Esto no tiene nada que ver con el producto vectorial (un término ambiguo que generalmente denota el producto cruz que probablemente conoces de la escuela).

Ambas son dos formas diferentes de combinar espacios vectoriales en uno más grande:

Si$U$tiene una base$\{u_i\}_i$y$V$una base$\{v_j\}_j$entonces$\{u_i,v_j\}_{i,j}$es una base de$U\oplus V$, es decir, se suman las dimensiones. Una forma de construir la suma directa es a través del producto cartesiano$U\times V$, por lo que la base sería en realidad$\{(u_i,0),(0,v_j)\}_{i,j}$.

A diferencia de,$\{u_i\otimes v_j\}_{i,j}$es una base de$U\otimes V$, es decir, las dimensiones se multiplican. La construcción del producto tensorial es un poco más complicada, así que no entraré en detalles aquí. Sin embargo, debes darte cuenta de que no todos los vectores del producto tensorial tienen la forma$u\otimes v$; Por ejemplo

$u_1\otimes v_1 + u_2\otimes v_2$

no se puede simplificar con esta elección particular de base. Los físicos llaman a tales estados enredados.

La cita de OP parece originarse en la diapositiva p. 45 en el discurso de apertura de Dan Cristian Marinescu de la conferencia Computing Frontiers 2004 .

Espacios de estado individuales de$n$las partículas se combinan mecánicamente cuánticamente a través del producto tensorial. Si$X$y$Y$son vectores, entonces su producto tensorial$X\otimes Y$es también un vector, pero su dimensión es$\dim(X) \times \dim(Y)$, mientras que el producto vectorial$X\times Y$tiene dimensión$\dim(X)+\dim(Y)$. Por ejemplo, si$\dim(X)= \dim(Y)=10$, entonces el producto tensorial de los dos vectores tiene dimensión$100$, mientras que el producto vectorial tiene dimensión$20$.

La cita mezcla la noción de un espacio vectorial y la noción de un vector que vive en ese espacio vectorial. En particular, habla confusamente de un producto vectorial , donde debería haberse referido a un producto cartesiano .

Claramente, las diapositivas no sustituyen a un buen libro de texto. Tenga en cuenta que el orador puede haber simplificado demasiado ciertos puntos porque no los necesitaba más adelante en la charla, y que podría haber omitido palabras menos importantes en las diapositivas para poder usar fuentes más grandes.

A continuación sugerimos un remedio marcado en rojo.

Espacios de estado individuales de$n$las partículas se combinan mecánicamente cuánticamente a través del producto tensorial. Si$X$y$Y$son vectoriales$\color{red}{\it spaces}$, entonces su producto tensorial$X\otimes Y$también es un vector$\color{red}{\it space}$, pero su dimensión es$\dim(X) \times \dim(Y)$, mientras que la$\color{red}{\it Cartesian}$producto$X\times Y$tiene dimensión$\dim(X)+\dim(Y)$. Por ejemplo, si$\dim(X)= \dim(Y)=10$, entonces el producto tensorial de los dos vectores$\color{red}{\it spaces}$tiene dimensión$100$, mientras que la$\color{red}{\it Cartesian}$el producto tiene dimensión$20$.

El producto tensorial es la extensión natural del producto ordinario.

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

Si tienes dos vectores$x,y$de dimensión$n$el producto tensorial se convierte en

dónde$\Theta_{\mu\nu}$es una matriz de dimensión$n\times n$.

El producto vectorial de dos vectores$x,y$generar un tercer vector$z$ortogonal a$x,y$. Esto significa que si desea definir completamente el vector$z$debes definir$x$y$y$y luego, en términos de grados de libertad, hay que sumar los grados de libertad de$x$y$y$.