Propagador en modos normales

Question

Propagador en modos normales

Física
propagador
modos normales
función de onda
evolución del tiempo
mecánica cuántica

reshad

Empecé con el hamiltoniano de osciladores acoplados en una red circular (con $m=\hbar=1$ y $x_{a+N}=x_{a}$ )

H = \frac{1}{2} \sum_{a = 0}^{norte - 1} [{pag}_{a}^{2} + ω^{2} X_{a}^{2} + Ω^{2} (X_{a} - a_{a + 1})]

$H=\frac{1}{2}\sum_{a=0}^{N-1}\left[p_a^2+\omega^2 x_a^2+\Omega^2\left(x_a-a_{a+1}\right)\right]$ Luego usé los modos normales

{\tilde{X}}_{k} \equiv \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{a = 0}^{norte - 1} Exp (- \frac{2 π i k}{norte} a) X_{a} {\tilde{pag}}_{k} \equiv \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{a = 0}^{norte - 1} Exp (\frac{2 π i k}{norte} a) {pag}_{k}

$\tilde{x}_k\equiv\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{a=0}^{N-1}\exp\left(-\frac{2\pi i k}{N}a\right)x_a\quad \tilde{p}_k\equiv\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{a=0}^{N-1}\exp\left(\frac{2\pi ik}{N}a\right)p_k$ para 'desacoplar' los osciladores:

H = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{norte - 1} (| \tilde{{pag}_{k}} |^{2} + {\tilde{ω_{k}}}^{2} | \tilde{X_{k}} |^{2})

$H=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}\left(|\tilde{p_k}|^2+\tilde{\omega_k}^2 |\tilde{x_k}|^2 \right)$ dónde

{\tilde{ω}}_{k} = ω^{2} + 4 Ω^{2} {pecado}^{2} (\frac{π k}{norte})

$\tilde{\omega}_k=\omega^2+4\Omega^2\sin^2\left(\frac{\pi k}{N}\right)$ En términos de los modos normales, la función de onda es

ψ_{0} (\tilde{X_{0}}, \tilde{X_{1}}, . .) = \prod_{k = 0}^{norte - 1} {(\frac{{\tilde{ω}}_{k}}{π})}^{\frac{1}{4}} Exp (- \frac{1}{2} {\tilde{ω}}_{k} | {\tilde{X}}_{k} |^{2})

$\psi_0\left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..\right)=\prod_{k=0}^{N-1}\left(\frac{\tilde{\omega}_k}{\pi}\right)^\frac{1}{4}\exp\left(-\frac{1}{2}\tilde{\omega}_k|\tilde{x}_k|^2\right)$ Ahora, quiero hacer evolucionar en el tiempo este estado usando el producto de propagadores de osciladores libres. Si

{\tilde{x}}_{k}

$\tilde{x}_k$ fueran reales, entonces procedería con el propagador como

k ({\tilde{X}}_{0}, {\tilde{X}}_{1}, . .; {\tilde{X}}_{0}^{'}, {\tilde{X}}_{1}^{'}; t) = \prod_{k = 0}^{norte - 1} \sqrt{\frac{{\tilde{ω}}_{k}}{2 π i pecado ({\tilde{ω}}_{k} t)}} Exp [\frac{i {\tilde{ω}}_{k}}{2 pecado ({\tilde{ω}}_{k} t)} {({\tilde{X_{k}}}^{2} + {\tilde{X_{k}}}^{' 2}) porque ({\tilde{ω}}_{k} t) - 2 {\tilde{X}}_{k} {\tilde{X}}_{k}^{'}}]

$K\left(\tilde{x}_0,\tilde{x}_1,..;\tilde{x}'_0,\tilde{x}'_1;t\right)=\prod_{k=0}^{N-1}\sqrt{\frac{\tilde{\omega}_k}{2\pi i \sin\left(\tilde{\omega}_k t\right)}}\exp\left[\frac{i\tilde{\omega}_k}{2 \sin\left(\tilde{\omega}_kt\right)}\{\left(\tilde{x_k}^2+\tilde{x_k}'^2\right)\cos\left(\tilde{\omega}_kt\right)-2\tilde{x}_k\tilde{x}'_k\}\right]$ Y yo tiempo evolucionaría el estado

ψ_{0}

$\psi_0$ como

ψ_{1} (\tilde{X_{0}}, \tilde{X_{1}}, . .; t) = \int d {\tilde{X}}_{0}^{'} d {\tilde{X}}_{1}^{'} . . k ({\tilde{X}}_{0}, {\tilde{X}}_{1}, . .; {\tilde{X}}_{0}^{'}, {\tilde{X}}_{1}^{'} . . .; t) ψ_{0} (\tilde{X_{0}}, \tilde{X_{1}}, . .)

$\psi_1 \left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..;t\right) =\int d\tilde{x}'_0 d\tilde{x}'_1.. K\left(\tilde{x}_0,\tilde{x}_1,..;\tilde{x}'_0,\tilde{x}'_1...;t\right) \psi_0\left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..\right)$ ¿Cómo puedo encontrar el propagador sabiendo que

{\tilde{x}}_{k}

$\tilde{x}_k$ no es real y luego encontrar el estado evolucionado en el tiempo?

Respuestas (1)

Propagador en modos normales

Daniel · Answer 1

Esta es una pregunta de cambio de variables. En principio, sabes cómo evaluar la última integral en términos de un conjunto de variables, el $x_a$ . Sin embargo, sería más fácil evaluarlo en términos de $\tilde{x}_k$ .

La integral original ha terminado. $x_a \in \mathbb{R}^N$ , por lo que necesita averiguar la región correspondiente de (complejo) $\tilde{x}_k$ -espacio. Una propiedad de la transformada de Fourier es útil: la $x_a$ son reales si y solo si $\tilde{x}_{-k} = \tilde{x}_{k}^*$ . Por lo tanto, podemos integrar en todo el plano complejo solo para valores no negativos de $k$ . `

También necesitamos incorporar el jacobiano de la transformación. La transformada discreta de Fourier es unitaria con la normalización que eligió, por lo que el jacobiano es solo $1$ .

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reshad

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Daniel

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