Generadores de una determinada simetría en Mecánica Cuántica

En Mecánica Clásica para describir simetrías como traslaciones y rotaciones usamos difeomorfismos en la variedad de configuración. En Mecánica Cuántica usamos operadores unitarios en el espacio de estados. Imponemos la unitaridad porque no queremos que la acción de la simetría interfiera en la normalización de los estados.

Ahora, ejemplos de eso son los casos de traslaciones y rotaciones. Estos se definen directamente en términos de los clásicos. En el caso de rotaciones si$\mathcal{E}$es el espacio de estado de una partícula sin espín en tres dimensiones y si$R\in SO(3)$es una rotación en tres dimensiones tenemos la rotación inducida$\hat{R}\in \mathcal{L}(\mathcal{E})$por

$$\langle \mathbf{r} | \hat{R}|\psi\rangle = \langle R^{-1}\mathbf{r}|\psi\rangle.$$

Ahora bien, en Mecánica Clásica a menudo queremos hablar de la versión infinitesimal de una simetría de la que se conoce su generador. En Mecánica Cuántica la misma idea es bastante importante. Los generadores de rotaciones, por ejemplo, son los operadores de momento angular.

El punto con los generadores es que

1. Se pueden interpretar como la versión infinitesimal de una simetría.
2. En analogía con los grupos de Lie si$A$y si$\xi$es su generador deberíamos poder escribir

$$A_\alpha = \exp(i\alpha \xi),$$

dónde$\alpha$es un parámetro que caracteriza hasta qué punto estamos aplicando la simetría. Los operadores generadores$\xi$son entonces operadores hermitianos.

Son hechos que conozco de manera totalmente informal y no rigurosa. Lo que quiero es precisar la idea de generadores de una simetría en QM.

Un problema que ya tenemos es que la exponencial puede converger ya que hay operadores que no están acotados. En cualquier caso: ¿cómo definimos con precisión los generadores de un operador, cómo demostramos que existen y cómo escribimos el operador como exponencial en términos de sus generadores de manera rigurosa?