Diferentes fuerzas de fricción: movimiento armónico amortiguado

Question

Diferentes fuerzas de fricción: movimiento armónico amortiguado

Física
fricción
osciladores
oscilador armónico

pipí

¿Qué clasifica como movimiento armónico amortiguado? Todos los libros/páginas web que he consultado sobre el movimiento armónico amortiguado han utilizado una fuerza de amortiguación que es proporcional en magnitud a la velocidad, incluso si no es apropiada para un problema en particular. Por ejemplo, la ecuación generalmente se deriva con una masa en una situación de resorte con fricción entre la masa y el piso, sin embargo, esta fricción debe ser constante e independiente de la velocidad.

Traté de encontrar una solución al problema de la fricción constante (aunque tuve que limitarme a considerar solo medio ciclo porque, de lo contrario, la fuerza estaría en la dirección equivocada. No estoy muy familiarizado con la resolución de ecuaciones diferenciales (aunque esto es bastante uno simple!) Y la solución que llegué a $m\ddot x +kx +F=0$

Era

$x=Acos (\omega t +\phi ) -\frac {F}{k}$

Lo que claramente es incorrecto ya que entonces la amplitud no está decayendo.

Pero supongo que mi pregunta principal es: ¿el movimiento armónico amortiguado es solo para fuerzas resistivas proporcionales a la velocidad?

proyecto de ley n

¿Por qué incluirías

k \dot{x}

$k\dot{x}$ si quieres un problema de velocidad constante? ¿Te refieres a un problema de fricción constante? ¿Y se supone que F es una fuerza restauradora lineal?

pipí

@BillN Gracias por señalar el error tipográfico. Sí, quise escribir fricción allí.

proyecto de ley n

Y

k x

$kx$ , no

k \dot{x}

$k\dot{x}$ ??

HBR

tu término

F

$F$ representa la resultante de las fuerzas aplicadas al centro de masa del objeto. La fuerza de fricción que nos interesa sí depende de la velocidad, porque cuando el sólido está en reposo, el sólido está en equilibrio mecánico y

F = 0

$F=0$ .

pipí

@BillN sí, disculpas.

Maquinilla de afeitar

como conseguiste

x = A c o s (ω t + ϕ) - \frac{F}{k}

$x=Acos (\omega t +\phi ) -\frac {F}{k}$ ?

vs_292

La fuerza de amortiguamiento en el caso de un péndulo es proporcional a la velocidad, ya que es la resistencia del aire y, por lo tanto, tenemos la ecuación diferencial:

m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = 0

$m\ddot x + b\dot x + kx = 0$ , que tienes que resolver para obtener la ecuación de movimiento del péndulo.

Steven

" Por ejemplo, la ecuación generalmente se deriva con una masa en una situación de resorte con fricción entre la masa y el piso, sin embargo, esta fricción debe ser constante e independiente de la velocidad. " Para tu información, la fricción entre el objeto y el piso no depende de la velocidad.

f = μ n

$f=\mu n$ . Excepto en los puntos finales donde momentáneamente se convierte en cero.

Respuestas (2)

Diferentes fuerzas de fricción: movimiento armónico amortiguado

¿Por qué incluirías $k\dot{x}$ si quieres un problema de velocidad constante? ¿Te refieres a un problema de fricción constante? ¿Y se supone que F es una fuerza restauradora lineal?
@BillN Gracias por señalar el error tipográfico. Sí, quise escribir fricción allí.
tu término $F$ representa la resultante de las fuerzas aplicadas al centro de masa del objeto. La fuerza de fricción que nos interesa sí depende de la velocidad, porque cuando el sólido está en reposo, el sólido está en equilibrio mecánico y $F=0$ .
La fuerza de amortiguamiento en el caso de un péndulo es proporcional a la velocidad, ya que es la resistencia del aire y, por lo tanto, tenemos la ecuación diferencial: $m\ddot x + b\dot x + kx = 0$ , que tienes que resolver para obtener la ecuación de movimiento del péndulo.
" Por ejemplo, la ecuación generalmente se deriva con una masa en una situación de resorte con fricción entre la masa y el piso, sin embargo, esta fricción debe ser constante e independiente de la velocidad. " Para tu información, la fricción entre el objeto y el piso no depende de la velocidad. $f=\mu n$ . Excepto en los puntos finales donde momentáneamente se convierte en cero.

HBR · Answer 1

Renombramos sus parámetros para escribir la ecuación en una forma más habitual:

metro \ddot{X} + C \dot{X} + F (X) = 0 metro > 0, C \geq 0

$m\ddot{x}+c\dot{x}+F(x)=0 \qquad m>0,c\geq 0$ Para una fuerza restauradora adecuada

F (x)

$F(x)$ forzar al sistema a ejercer un movimiento armónico.

En aras de la simplicidad, permita que el sistema ejerza pequeñas oscilaciones y, por lo tanto, la función $F(x)$ se puede expandir cerca de su mínimo $F(x)\approx kx$ con $k> 0$ . Dividamos también tu ecuación por la masa $m$ , definiendo dos nuevas cantidades:

γ = \frac{C}{metro} ω^{2} = \frac{k}{metro}

$\gamma=\frac{c}{m}\qquad \omega^2 = \frac{k}{m}$ Por eso

\begin{matrix} (1) & \ddot{X} + γ \dot{X} + ω^{2} X = 0 \end{matrix}

$\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega^2x=0\tag1$

multiplicando $(1)$ por $\dot{x}$ tenemos

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ({\dot{X}}^{2} + ω^{2} X^{2}) = - γ \dot{X} \dot{X} \end{matrix}

$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\dot{x}^2+\omega^2x^2\right)=-\gamma\dot{x}\dot{x}\tag2$ Podemos decir que si

γ

$\gamma$ es cero la energía del sistema

mi = \frac{1}{2} ({\dot{X}}^{2} + ω^{2} X^{2})

$E=\frac{1}{2}\left(\dot{x}^2+\omega^2x^2\right)$ se conserva Tenga en cuenta que el RHS de

(2)

$(2)$ es estrictamente negativa durante todo el movimiento.

Está claro que $(2)$ es la generalización de la ecuación $(1)$ te propusiste. Respondiendo a tu pregunta, cualquier función que sea estrictamente positiva una vez multiplicada por $\dot{x}$ , a lo largo de la moción podrá servir para este fin.

Por lo tanto, si la energía $E$ debe disminuir a lo largo del movimiento, es obligatorio que el coeficiente de fricción sea una función par en $\dot{x}$

γ = γ_{0} + γ_{2} {\dot{X}}^{2} + γ_{4} {\dot{X}}^{4} + . . .

$\gamma = \gamma_0+\gamma_2\dot{x}^2+\gamma_4\dot{x}^4+...$

Espero que esto ayude

PD La solución que diste para constante $F$ está mal, si $F=constant$ , cambiando las variables a $x=y-F/kt$ resultados que debes verificar

\frac{d}{d t} (metro \dot{y} + k y) = 0

$\frac{d}{dt}\left(m\dot{y}+ky\right) = 0$ Resolviendo para

y

$y$ tenemos

metro \dot{y} + k y = C o norte s t a norte t \to y = C_{0} + C_{1} Exp (- k / metro t)

$m\dot{y}+ky=constant \rightarrow y=c_0 + c_1\exp{(-k/mt)}$ Ser

X = C_{0} + C_{1} Exp (- k / metro t) - F / k t

$x = c_0 + c_1\exp{(-k/mt)}-F/kt$

Ofek Tevet · Answer 2

Hasta donde entiendo las ecuaciones diferenciales y el movimiento armónico simple, la razón por la que su solución no muestra una amplitud decreciente es simple. asumió que la fuerza F es constante durante todo el tiempo t, y un sistema de fuerza de resorte con una fuerza constante adicional, simplemente no tiene una amplitud decreciente (puede pensar en la influencia de la fuerza constante, como moviendo el punto de red fuerza cero del resorte), su amplitud no cambia, y el valor de x(t), representa la distancia desde el punto en el que la fuerza del resorte cancela la fuerza constante.

Diferentes fuerzas de fricción: movimiento armónico amortiguado

pipí

proyecto de ley n

pipí

proyecto de ley n

HBR

pipí

Maquinilla de afeitar

vs_292

Steven

Respuestas (2)

HBR

Ofek Tevet

Solución general de un sistema masa resorte

¿La fuerza de amortiguamiento afecta el período de oscilación?

¿Qué precisión tiene la solución integral elíptica del péndulo simple?

Condiciones iniciales de movimiento armónico amortiguado

Péndulo amortiguado (generalizado)

Solución a largo plazo para un oscilador armónico impulsado

¿Cómo puedo derivar la solución del oscilador armónico subamortiguado?

¿Cuál es el significado de la constante de fase en la ecuación del movimiento armónico simple?

¿Es posible encontrar un "péndulo de reemplazo" para un sistema de dos péndulos iguales pero perpendiculares?

Un principio de acción estacionario para un oscilador con amortiguación dependiente de la posición