¿Por qué el álgebra de Lie correspondiente al grupo unitario contiene operadores hermitianos?

La respuesta corta es que la idea de elementos de grupo que están infinitesimalmente cerca del elemento de identidad se describe mediante el álgebra de Lie del grupo. Si$\mathbb{1}$es la identidad del grupo unitario, podemos pensar en elementos infinitesimalmente cercanos como$\mathbb{1} + i\epsilon X$, dónde$\epsilon$es un número pequeño (real). El conjunto de todos los posibles$X$tal que$\mathbb{1}+i\epsilon X$es unitaria es el álgebra de Lie del grupo unitario. Puede comprobarlo para$\mathbb{1} + i\epsilon X$ser unitario,$X$debe ser hermitiano. (Simplemente aplicar la condición de unitaridad,$U^\dagger U = \mathbb{1}$e ignorar los términos de segundo orden en$\epsilon$.) Eso es lo que significa "el álgebra de Lie del grupo unitario es el conjunto de operadores hermitianos".

Alguna información adicional para agregar a la respuesta correcta de qm-arv , algo que puede ayudarlo ahora, algo más adelante a medida que comprenda mejor el tema.

Un grupo de Lie es esencialmente un grupo que también es una variedad, es decir, puede ser etiquetado por coordenadas y también tenemos el requisito adicional de que las operaciones de grupo (multiplicación e inversa) induzcan funciones continuas de estas coordenadas. Es decir, podemos escribir expresiones para las coordenadas de un producto en función de las coordenadas de los multiplicandos y la expresión que obtenemos define una función continua; igualmente para el inverso.

Donde esto es relevante para la ecuación de Schrödinger es que, para un hamiltoniano invariable en el tiempo, la ecuación de Schrödinger describe la evolución del estado cuántico de un sistema cuando el sistema no está perturbado; por lo tanto el operador$U(\tau)$describir la evolución a través de algún intervalo de tiempo$\tau$debe ser el mismo cualquiera que sea el tiempo de comienzo de la evolución. Entonces, si pensamos en un intervalo de tiempo de longitud$\tau+s$, es equivalente a la evolución por intervalo de tiempo$\tau$, seguida de la evolución por intervalo de tiempo$s$(o al contrario) y llegamos a la conclusión de que:

Es decir, el conjunto$\{U(\tau):\,\tau\in\mathbb{R}\}$de todos los operadores de evolución para este sistema no perturbado para todos los intervalos de tiempo deben formar un grupo, llamado, naturalmente, grupo de un parámetro . Este es siempre un grupo abeliano (conmutativo).

Estamos acostumbrados a que la naturaleza sea continua en sus acciones, por lo que es natural postular que$U(\tau)$es una función continua de la duración de la evolución$\tau$.

Ahora bien, si nuestro sistema cuántico es de dimensión finita, todos los operadores en (1) tienen matrices de dimensión finita conmutables. Podemos manipular matrices cuadradas exactamente como escalares, por lo que podemos deducir rápidamente, como se puede hacer con números reales, que la única función continua que cumple (1) es una función de la forma

para alguna matriz cuadrada constante$K$. La serie es universalmente convergente para matrices cuadradas de dimensión finita. También por$\tau$lo suficientemente pequeño, para que$U(\tau)$debe aproximarse a la matriz identidad, el logaritmo de la matriz se define de forma única:

Los grupos de mentiras siempre tienen al menos uno de esos grupos de parámetros que los atraviesa; de hecho, cada miembro lo suficientemente cerca de la identidad debe ser miembro de uno de estos grupos de parámetros, por lo que otra caracterización del álgebra de Lie$\mathfrak{h}$en un grupo de mentira$\mathfrak{H}$es el conjunto de todos los logaritmos de los miembros del grupo de Lie$U\in\mathfrak{H}$tal que$\|U-\mathrm{id}\|<1$junto con todos los múltiplos escalares de estos logaritmos. Esto también conduce a una caracterización equivalente de que el álgebra de Lie es:

Para los vectores de estado cuánticos, sus normas deben conservarse por cualquier evolución, por lo que los operadores involucrados deben ser todos unitarios. Esto significa que todos nuestros logaritmos deben ser sesgados-hermitianos, o de la forma$K=i\,H$dónde$H$es hermitiano como ha demostrado y ha indicado la respuesta correcta de qm-arv . En el grupo unitario, que es compacto y conexo, cada miembro del grupo de Lie es la exponencial de un miembro del álgebra de Lie; esto es cierto para el componente relacionado con la identidad de todos los grupos de Lie compactos, pero algunos grupos no compactos tienen subgrupos relacionados con la identidad con miembros que no se pueden escribir como exponencial de un miembro del álgebra de Lie. Por supuesto, ningún elemento$\gamma$que está fuera del componente conexo de identidad de cualquier grupo de Lie puede ser exponencial$\exp(H)$de un elemento de álgebra de Lie$H$, porque tal elemento está conectado a la identidad por el camino$\{\exp(t\,H)|\;t\in[0,\,1]\}$.

En el caso de dimensión infinita, todo esto sigue siendo válido, gracias al notable Teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro . Este notable teorema muestra que para cualquier espacio de Hilbert, mientras hablemos de un grupo de parámetros donde la multiplicación en (1) es fuertemente continua, existe una correspondencia biunívoca entre todos esos grupos dentro del espacio de Hilbert y los operadores autoadjuntos (posiblemente ilimitados) en el espacio de Hilbert. Es decir, siempre tenemos$U(\tau) = \exp(i\,\tau\,H)$para algunos operadores autoadjuntos, posiblemente ilimitados$H$. Incluso condiciones más débiles que la continuidad fuerte pueden hacer que este teorema funcione si el espacio de Hilbert en cuestión es separable, como siempre lo es en la mecánica cuántica.

Cuando estamos hablando de grupos de un parámetro de operadores de evolución temporal, los operadores autoadjuntos correspondientes son los hamiltonianos definidos por evoluciones de estados cuánticos aislados.

Como otro ejemplo del uso de este poderoso teorema en la mecánica cuántica, tenemos el grupo fuertemente continuo de operadores unitarios de traducción definidos en el espacio de Hilbert$L^2$funciones por$\tilde{U}(\tau)\, \psi(x) = \psi(x+\tau)$. Existe, por el teorema, un operador adjunto propio$D$tal que$U(\tau) = \exp(i\,\tau\,D)$.

Cuando restringimos$D$para suavizar las funciones,$D$Se puede escribir como$D = -i\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$, y recuperamos la serie de Taylor:

mostrando elegantemente la correspondencia entre el operador de momento$-i\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$y traducción en el espacio.

La parte hermítica es ligeramente arbitraria en el sentido de que todos los operadores podrían multiplicarse por$i$y volverse anti hermético. Además, no hay razón para ceñirse a los operadores hermitianos como$L_+, L_-$y$L_z$son una base legítima para el álgebra de Lie$su(2)$(o, más precisamente, su compleja extensión).

La elección de los operadores hermitianos es conveniente porque

Volviendo a la posibilidad de escribir una matriz unitaria usando exponenciales de operadores no hermitianos, el famoso ejemplo es$SU(2)$, donde un$SU(2)$matriz$R$se puede escribir "en la forma antinormal"

Existe un ejemplo similar para el álgebra de Heisenberg-Weyl. Puedes elegir como base para el álgebra de Lie$\hat x, \hat p$y$I$, o$\hat a, \hat a^\dagger$y$I$, y expresan una traslación en forma ordenada normal o en forma ordenada antinormal. En estos dos últimos casos la traducción implica exponenciaciones de operadores no hermitianos.

Recuerda que las matrices unitarias forman un grupo de Lie. Si consideramos el subgrupo de un parámetro$\{U(t)\}$, por la teoría de grupos de Lie resulta que:

Pero podemos reescribir la expresión anterior con$H=-iK$:

Observa que ahora$H$es una matriz hermítica.

De todos modos, podemos mostrar directamente que$H$es hermítica, usando propiedades de matriz exponencial, y sin depender de aproximaciones . tenemos eso

Pero