¿Existe una conexión entre los Grupos de Lie y las cantidades observables en física?

Question

¿Existe una conexión entre los Grupos de Lie y las cantidades observables en física?

Bueno

Buenas tardes a todos.

Tengo algunas preguntas sobre la relación entre los grupos de Lie y los observables en física. De hecho, tomando el ejemplo del formalismo de espín de la mecánica cuántica, sé que las matrices de Pauli $\{\sigma^i\}$ corresponden a una cantidad observable ( $\frac{1}{2}$ valores propios de la proyección de espín), ya que estos últimos son operadores hermitianos.

Sin embargo, por un estudio reciente sobre teoría de grupos entendí que $\frac{1}{2}$ Los estados propios de espín de QM clásico pueden abarcar el espacio vectorial que se transforma bajo una representación del grupo de Lie $SU(2)$ .

Siempre es el caso de que una base hermítica de un álgebra de Lie represente una cantidad observable en QM o solo es el caso de $SU(2)$ ¿grupo? ¿Cuál es la conexión general entre la teoría de grupos y las cantidades observables de QM y QFT?

una mente curiosa

Los observables cuánticos son operadores autoadjuntos, y los observables clásicos también forman un álgebra de Lie en el espacio de fase bajo el corchete de Poisson.

Bueno

Entiendo tu punto y estoy de acuerdo contigo. Pero todavía tengo algunos problemas para entender cómo es posible que un Grupo de Lie, un objeto que codifica en su "nivel macroscópico" información sobre cómo se transforma un objeto, pueda codificar en su nivel infinitesimal otro formalismo para medir cantidades físicas. Parece fascinante y realmente complejo al mismo tiempo xD

curioso

¿Conoces el teorema de Noether y cómo conecta simetrías con cantidades conservadas como cantidad de movimiento y energía? Creo que ese puede ser el eslabón perdido entre los observables físicos (que en última instancia son cantidades conservadas) y las simetrías que está buscando.

Bueno

Sí, pero el teorema de Noether establece la conservación de una carga general en presencia de un grupo de transformación que deja la acción invariante (como la energía y el impulso para la simetría de traducción del espacio-tiempo como mencionaste). :) Mi pregunta es más sobre cómo puedes ver una transformación infinitesimal de un grupo de Lie (un álgebra de Lie) como una cantidad observable en física; sin necesidad de conservarlo.

Respuestas (1)

¿Existe una conexión entre los Grupos de Lie y las cantidades observables en física?

Los observables cuánticos son operadores autoadjuntos, y los observables clásicos también forman un álgebra de Lie en el espacio de fase bajo el corchete de Poisson.
Entiendo tu punto y estoy de acuerdo contigo. Pero todavía tengo algunos problemas para entender cómo es posible que un Grupo de Lie, un objeto que codifica en su "nivel macroscópico" información sobre cómo se transforma un objeto, pueda codificar en su nivel infinitesimal otro formalismo para medir cantidades físicas. Parece fascinante y realmente complejo al mismo tiempo xD
¿Conoces el teorema de Noether y cómo conecta simetrías con cantidades conservadas como cantidad de movimiento y energía? Creo que ese puede ser el eslabón perdido entre los observables físicos (que en última instancia son cantidades conservadas) y las simetrías que está buscando.
Sí, pero el teorema de Noether establece la conservación de una carga general en presencia de un grupo de transformación que deja la acción invariante (como la energía y el impulso para la simetría de traducción del espacio-tiempo como mencionaste). :) Mi pregunta es más sobre cómo puedes ver una transformación infinitesimal de un grupo de Lie (un álgebra de Lie) como una cantidad observable en física; sin necesidad de conservarlo.

fénix87 · Answer 1

Dejar $A$ sea el C*-álgebra de un sistema mecánico cuántico, y suponga que $G$ actúa sobre $A$ por simetrías a través del homomorfismo de grupos $\alpha:G\to\text{Aut}(A)$ . Supongamos además que $G$ es un grupo de Lie simplemente conexo con trivial $H^2(\mathfrak g,\mathbb R)$ , $\mathfrak g$ siendo el álgebra de mentira de $G$ . Si $\pi$ es un $\alpha$ -representación regular, lo que significa que la probabilidad de transición $P_{\omega\to\omega\circ\alpha_g}$ es continua en $g\in G$ para cada estado $\omega$ , entonces $G$ se puede representar unitariamente en el espacio de Hilbert de $\pi$ de una manera que

{tu}_{gramo} π (a) {tu}_{gramo}^{*} = π (α_{gramo} (a)), \forall a \in A,

$u_g\pi(a)u_g^* = \pi(\alpha_g(a)),\qquad\forall a\in A,$ por el teorema de Bargmann. Esto expresa el hecho de que la pareja

(π, u)

$(\pi,u)$ es una representación covariante de la

G

$G$ -álgebra

A

$A$ . Desde

u

$u$ es una representación de

G

$G$ , induce una representación de

g

$\mathfrak g$ en el espacio de Hilbert de

π

$\pi$ así como a través de operadores autoadjuntos. Por lo tanto, si permite que los generadores vivan en el álgebra C* más grande generada por

π (A)

$\pi(A)$ y todo el

u_{g}

$u_g$ para cualquier

g \in G

$g\in G$ (el producto cruzado

A ⋊_{(π, u)} G

$A\rtimes_{(\pi,u)}G$ ), puedes interpretarlos como observables. En la mayoría de los casos, a estos operadores se les puede dar un significado físico (por ejemplo, los generadores de traslaciones son los operadores de cantidad de movimiento, etc.).

Supongo que debería ser $G\to\mathrm{Aut}(A)$ . No sé mucho de física, así que si no te importa: ¿es el $C^\ast$ -álgebra de un sistema un álgebra (o el álgebra) de observables? Si es así, ¿es esto un álgebra de operadores hermitianos en algún espacio fijo de Hilbert (estado), o su resumen $C^\ast$ -la estructura del álgebra describe todo el sistema y podemos trabajar con diferentes representaciones ( $A$ -módulos)?
Gracias, de hecho tienes razón! Por supuesto, el codominio de $\alpha$ tiene que estar en el conjunto de automorfismos en el C*-álgebra. Dicha álgebra es el álgebra de todos los observables. Cuando prepara un sistema mecánico en un estado determinado, obtiene una representación de A en algún espacio de Hilbert siguiendo una determinada construcción, conocida como construcción GNS. De manera más general, toda la física está codificada en la teoría de la representación de $A$ .

¿Existe una conexión entre los Grupos de Lie y las cantidades observables en física?

Bueno

una mente curiosa

Bueno

curioso

Bueno

Respuestas (1)

fénix87

doetoe

fénix87

¿Por qué el álgebra de Lie correspondiente al grupo unitario contiene operadores hermitianos?

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