Pregunta sobre variedades y transformaciones de coordenadas

Asumir que$\varphi:U\rightarrow \mathbb{R}^n$es una función de gráfico. Si$p\in M$es un punto, entonces escribimos

$$\varphi(p)=(x^1(p),...,x^n(p)),$$ entonces $\varphi$como local $\mathbb{R}^n$-la función de valor es igual a $n$local $\mathbb{R}$-funciones valoradas, que son las funciones de coordenadas del gráfico.

En consecuencia (y porque$\varphi$es invertible), la función inversa viene dada por$\varphi^{-1}:\mathbb{R}^n\rightarrow M$(Estoy abusando de la notación, porque por lo general no mapea desde todos$\mathbb{R}^n$, interprete esto como una función parcial). Es valor en un dado$n$-tupla se describe como

$$\varphi^{-1}(x^1,...,x^n).$$ Aquí estoy una vez más abusando de la notación, porque el $x^\mu$s son ahora variables en $\mathbb{R}^n$. No estoy seguro de cuál es exactamente la fuente y el tema de su confusión, pero supongo que tiene algo que ver con esto. Usamos $x^\mu$tanto como una función (local) de $M$a $\mathbb{R}$, y como una coordenada/variable dentro $\mathbb{R}^n$.

También podemos decir que

$$p=\varphi^{-1}(x^1(p),...,x^n(p))$$ y aquí no abusamos de la notación.

Ahora deja$\psi:V\rightarrow \mathbb{R}^n$sea ​​también una función gráfica, y supongamos que$U\cap V\neq\emptyset$. Para facilitar la notación, reduciré$U$y$V$ambos para que coincidan, y solo usaré$U$para ambos dominios de coordenadas.

Podemos escribir

$$\psi(p)=(y^1(p),...,y^n(p))$$ , por lo que las funciones de coordenadas de $\psi$ahora se denotan con $y$. La afirmación inversa es $$p=\psi^{-1}(y^1(p),...,y^n(p)),$$ así que una vez más abusamos de la notación y pensamos en la función inversa $\psi^{-1}$siendo la función de las variables $y^1,...,y^n$.

Con estas notaciones, la función de transición$\psi\circ\varphi^{-1}$es un$\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$función, cuyo valor en un elemento dado de su dominio se puede escribir como

$$(\psi\circ\varphi^{-1})(x^1,...,x^n)=(y^1(\varphi^{-1}(x^1,...,x^n)),...,y^1(\varphi^{-1}(x^1,...,x^n)))=(y^1(x^1,...,x^n),...,y^n(x^1,...,x^n)).$$

Aquí, en la última ecuación, cometimos un atroz abuso de notación y "olvidamos"$\varphi^{-1}$- simplemente vimos la función de transición$\psi\circ\varphi^{-1}$como una relación funcional entre las variables dependientes $y^\mu$y las variables independientes $x^\mu$.

Este abuso de notación es muy común en geometría diferencial, incluso entre matemáticos. Porque incluso las cosas simples serían más o menos intratables, si usáramos una notación muy pedante.

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Acerca de la pregunta real: la respuesta óptima depende de cómo te guste pensar sobre los vectores tangentes. Por lo general, implica derivaciones puntuales en el anillo de funciones suaves, p. mapas de la forma$f\mapsto v(f)\in\mathbb{R}$tal que este mapa es$\mathbb{R}$-lineal y satisface

$$v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g),$$ o como vectores tangentes a curvas, en cuyo caso hay una relación de equivalencia en juego entre curvas suaves que pasan por $p$.

La conexión entre los dos puede ser dada por lo siguiente: Si$\gamma$es una curva suave en$M$, que pasa a través$p$en$t_0$, y$f$es una función suave definida en una vecindad abierta que contiene$p$, entonces el vector tangente de la curva$\gamma$en$p$viene dada por la derivación (en$p$) descrito como

$$v(f)=\left.\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)\right|_{t=t_0}.$$ Además, se puede demostrar que todas las derivaciones surgen de esta manera.

Usaré esto como ejemplo, porque es muy fácil examinar el comportamiento de los componentes del vector de esta manera.

Porque$\varphi^{-1}\circ\varphi=\text{Id}$la función identidad, podemos escribir

$$\left.\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)\right|_{t=t_0}=\left.\frac{d}{dt}(f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\gamma)\right|_{t=t_0}.$$

pero que es$f\circ\varphi^{-1}$? Es la función multivariable que mapea la$x$-coordenadas a números en lugar de puntos abstractos$p$. Y lo que es$\varphi\circ\gamma$? Es el$\mathbb{R}^n$-curva valorada$(\varphi\circ\gamma)(t)=(x^1(t),...,x^n(t))$(¡Advertencia! ¡Gran abuso de notación aquí!) que describe una familia de un parámetro de$x$-coordenadas en lugar de resumen$p$-¡puntos!

En particular, podemos usar la regla de la cadena habitual del cálculo ordinario para evaluar esta derivada, y obtenemos

$$\left.\frac{d}{dt}(f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\gamma)\right|_{t=t_0}=\frac{\partial(f\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}\frac{d (x^\mu\circ\gamma)}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x^\mu}\frac{d x^\mu}{dt},$$ donde 1) todas las derivadas se evalúan donde sea necesario, 2) en la última ecuación abusamos masivamente de la notación una vez más, 3) la convención de suma está en efecto.

Pero esto es por supuesto$v(f)$, para que podamos "desacoplar"$f$de esto, y escribe$v$como

$$v=\frac{d x^\mu}{dt}\frac{\partial}{\partial x^\mu}.$$ Una vez más, el $t$-derivada se evalúa en el lugar correcto, y observamos que rigurosamente, $\partial/\partial x^\mu$no es una derivada parcial, sino una derivación que actúa tomando la derivada parcial de la función$x$-representación coordinada (!!!) (así $\partial/\partial x^\mu$actúa sobre $f$, pero las derivadas parciales reales actúan sobre $f\circ\varphi^{-1}$). Aquí podemos escribir $$v=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu},$$ dónde $v^\mu=dx^\mu/dt|_{t=t_0}$y llamamos al $v^\mu$los componentes de $v$en el gráfico $\varphi$.

También podemos comprobar que

$$\frac{\partial}{\partial x^\mu}(x^\nu)=\frac{\partial (x^\nu\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}=\delta^\nu_\mu,$$ entonces tenemos $$v^\nu=v(x^\nu).$$

Entonces podemos preguntarnos cuáles son los componentes de$v$con respecto a las coordenadas$y$? evaluamos

$$v(y^\nu)=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}(y^\nu)=v^\mu\frac{\partial(y^\nu\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}=v^\mu\frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu},$$ donde está la última ecuación - esencialmente un abuso de notación.

(Esta respuesta supone que conoce la geometría diferencial y solo quiere saber cómo obtiene el físico esa expresión).

Dejar$V,W\subset\mathbb{R}^n$y$\psi : V\to U$y$\phi : W\to U'$ser gráficos para$U,U'\subset M$en algún múltiple$M$. Entonces el "cambio de coordenadas" en$U\cap U'$es la función de transición

$$\phi^{-1}\circ \psi : V\to W.$$ Esta función induce un mapa natural entre vectores tangentes, el pushforward $$\mathrm{d}(\phi^{-1}\circ \psi) : TV\to TW,$$ que es el jacobiano de la transformación, es decir, en cada punto $x\in V$, tenemos $$\mathrm{d}(\phi^{-1}\circ \psi)_x : T_xV\to T_xW, v\mapsto J(\phi^{-1}\circ\psi)(x)\cdot v.$$ Escrito en las coordenadas estándar de la $\mathbb{R}^n$ambos $V$y $W$son subconjuntos de, el jacobiano es precisamente la matriz con componentes $\frac{\partial x'^a}{\partial x^b}$usted pregunta acerca de, dónde $x' = \phi^{-1}\circ \psi$.

Queremos las funciones$\psi$sean diferenciables precisamente porque queremos que produzcan este mapa entre vectores tangentes. Si los mapas no son derivables, no hay un mapa natural inducido en los vectores tangentes.

Recuerda que si$X$es un espacio vectorial con base$(e_1,\ldots,e_n)$y base dual correspondiente$(e^1,\ldots,e^n)$, entonces$w = e^i(w)e_i$, para todos$w\in X$.

Aplicamos esto para cada espacio tangente de la variedad. la base es$(\partial/\partial x^1,\ldots,\partial/\partial x^n)$y el dual es$(dx^1,\ldots,dx^n)$. Significa que$V^a=dx^a(V)$. Similarmente,$V^{'a}=dx^{'a}(V)$. Ahora bien, la regla de la cadena dice que

$$dx^{'a} =\frac{\partial x^{'a}}{\partial x^b} dx^b ,$$ de donde aplicarlo todo en $V$da $$V^{'a} =\frac{\partial x^{'a}}{\partial x^b} V^b,$$ como quería