Cambio de coordenadas vs cambio de ejes de referencia

Quizás no se necesite una explicación visual, pero lo explicaré de la manera más intuitiva posible.

La respuesta a esta pregunta es clave para explicar por qué nombramos índices y subíndices en objetos como vectores, covariante y contravariante .

Como sabe, la longitud real del vector es invariable y debe permanecer igual sin importar cómo identifiquemos sus coordenadas en una base particular. No importa hacia dónde apunte el vector, tiene una cierta longitud en el espacio. Entonces, si tenemos un vector en una base y luego lo escribimos en otra base, debemos hacerlo sin cambiar la longitud del vector.

Llamemos a un vector en una base$v$, que tiene vectores base$e$, y llámalo$v'$en otra base, con vectores base$e'$, de modo que$v'=v$(en general$e'\ne e$). Además, usaremos subíndices, es decir,$e_i$para vectores base y superíndices, es decir,$v^j$por coordenadas.

Como ya sabrá, una transformación general a partir de una base$e$a una nueva base$e'$se puede definir por

$$\tag 1 e' = e T$$ dónde$T$es una matriz de transformación (o tensor).

Podríamos usar esta misma matriz para transformar vectores de coordenadas, aunque no esperaríamos que podamos usar la misma fórmula . Esto se debe a que las bases y las coordenadas juegan papeles diferentes aquí. Es decir, los elementos básicos son vectores que describen el sistema de coordenadas, mientras que las coordenadas reales son solo números escalares que describen la posición de los vectores.

Por ejemplo, supongamos que tengo un sistema de coordenadas oblicuas y decido escalar ambos 'ejes' por un factor de a y b respectivamente.

En general, podrías escribir un vector

$$v = v^1 e_1 + v^2 e_2 \cdots + v^n e_n$$ y considerar ahora que tenemos una nueva base$e'$que obtenemos por la multiplicación de$2$Vectores de base$e_i$ y una multiplicación de$2$las coordenadas$v_j$también. Entonces terminaríamos con un vector que es$4$veces su tamaño original, lo que contradice nuestra primera premisa. Lo que deberíamos haber hecho es multiplicar el$e_i$es por$2$pero multiplica$v_j$es por el inverso de$2$, a saber$\frac{1}{2}$Llegar$v' = v$lo cual es consistente con nuestra primera premisa.

Así que si alguna vez tenemos que cambiar el$e$es por un factor, entonces el$v$Es necesario cambiar por el factor inverso para mantener nuestra premisa original. En otras palabras, transformar$v$en$v′$en la base$e′$tenemos que usar en su lugar

$$\tag 2 v' = T^{-1} v$$

El hecho de que los elementos de la base cambien de acuerdo con la ecuación (1) mientras que las coordenadas cambian de "manera inversa" de acuerdo con la ecuación (2) también es la razón por la cual los elementos de la base se denominan covariantes y las coordenadas vectoriales se denominan contravariantes (y también por qué etiquetar el mismo con subíndices y superíndices). También tenga en cuenta que algunas personas usan posiciones opuestas en los índices.

Un sistema de coordenadas es esencialmente una forma de etiquetar puntos en su espacio de manera única$N$-tuplas de números reales,$(x^1,\ldots,x^N)$. Una elección de base es una asignación de un conjunto de vectores$\{\hat e_1,\ldots, \hat e_N\}$a cada punto, con respecto al cual podemos expandir cantidades vectoriales y tensoriales en componentes. No hay razón para que la elección del sistema de coordenadas y la elección de la base tengan algo que ver entre sí.

Sin embargo , una elección de coordenadas$(x^1,\ldots,x^N)$viene con una elección de base libre ( como en la cerveza ), a saber, el conjunto de vectores base$\big\{\frac{\partial}{\partial x^1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x^N}\big\}$. A menudo es conveniente, especialmente en geometría diferencial elemental, simplificar las cosas eligiendo la base natural inducida por su sistema de coordenadas. Si haces esto, entonces un cambio de coordenadas$x^\mu\mapsto y^\mu$induce un correspondiente cambio de base$\frac{\partial}{\partial x^\mu} \mapsto \frac{\partial}{\partial y^\mu}= \frac{\partial x^\alpha}{\partial y^\mu} \frac{\partial}{\partial x^\alpha}$.

Si escalas tus coordenadas, entonces$y^\mu = a x^\mu$, entonces su base inducida por coordenadas se escalará de otra manera, es decir$\frac{\partial}{\partial y^\mu} = \frac{1}{a}\frac{\partial}{\partial x^\mu}$.

Por supuesto, tener una base inducida por coordenadas a veces puede ser inconveniente, particularmente porque tales bases tienden a no ser ortonormales. Somos libres ( como en el habla ) de usar cualquier base que elijamos si es más conveniente para nuestras necesidades, incluso una que no esté inducida por ningún sistema de coordenadas. Por supuesto, si no está utilizando la base natural inducida por coordenadas, deberá ser más específico acerca de las bases precisas que utilizará antes y después de la transformación de coordenadas.

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Para ilustrar este punto más claramente, considere las coordenadas polares$(r,\theta)$. para el plano euclidiano. La base inducida por coordenadas, dada por$\big\{\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta}\big\}$, no es ortonormal; el tensor métrico en estas coordenadas viene dado por

$$g_{\mu\nu} = \pmatrix{1 & 0 \\\ 0 & r^2 }$$ lo que significa que los productos internos son

$$g\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial r}\right)=1, \quad g\left(\frac{\partial}{\partial \theta},\frac{\partial}{\partial \theta}\right)=r^2,\quad g\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta}\right)=g\left(\frac{\partial}{\partial \theta},\frac{\partial}{\partial r}\right)=0$$

Esta base es ortogonal, pero$\frac{\partial}{\partial \theta}$no está normalizado. Podemos elegir una base ortonormal en su lugar, dada por

$$\hat e_r = \frac{\partial}{\partial r} \qquad \hat e_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}$$

Si escalamos nuestras coordenadas de tal manera$r\mapsto \rho=ar$, entonces la base inducida por coordenadas cambia a$\big\{\frac{\partial}{\partial \rho},\frac{\partial}{\partial \theta}\big\} = \big\{\frac{1}{a} \frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta}\big\}$. Sin embargo, si no queremos usar esta base inducida por coordenadas, entonces no hay razón para hacerlo.

En particular, si quisiéramos usar la base ortonormal$\{\hat e_r,\hat e_\theta\}$tanto antes como después del cambio de coordenadas, entonces no hay razón por la que no podamos, en cuyo caso los vectores base no cambiarán en absoluto (obviamente).