¿Por qué el vector de 4 velocidades es una cantidad absoluta?

Parece que te interesa el álgebra, así que intentaré darte una respuesta más técnica. No soy matemático, así que tómalo con pinzas.

Digamos que tienes un campo escalar$f$definido en su espacio-tiempo. Con esto quiero decir que es un mapa de eventos en su espacio-tiempo$\mathcal{M}$a, digamos, números reales$f:\mathcal{M}\to\mathbb{R}$. Por aquí$f$es independiente de sus transformaciones de coordenadas: puede etiquetar el espacio-tiempo como desee, pero seguirá siendo el mismo espacio-tiempo.

A continuación, consideremos una línea de mundo de su objeto. Esto se puede considerar como un mapa de números reales (tiempo propio) a puntos en su espacio-tiempo.$\bar{x}^\mu: \mathbb{R}\to\mathcal{M}$. Tenga en cuenta que no asumo que$\bar{x}^\mu$es un vector, en cambio, es simplemente una colección de funciones que mapean el tiempo adecuado en coordenadas particulares (que usted eligió para abordar su espacio-tiempo).

Ahora podemos definir$f\circ\bar{x}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$(es decir$\mathbb{R}\to\mathcal{M}\to\mathbb{R}$). Tomemos una derivada de esta función e intentemos aplicar la regla de Leibniz.

$\frac{d}{d\tau}\left(f\circ\bar{x}(\tau)\right)=\frac{d}{d\tau}\left(f\left(\bar{x}^0(\tau),\bar{x}^1(\tau), \dots\right)\right)=\frac{d\bar{x}^\mu}{d\tau}\left(\partial_\mu f\right)\rvert_{@\bar{x}(\tau)}$

Nótese que todavía no hay suposición de$d\bar{x}^\mu/d\tau$siendo un vector.

Pero ahora consideramos esto desde el punto de vista de la geometría diferencial:$\frac{d}{d\tau}\left(f\circ\bar{x}(\tau)\right)$es una función escalar: no puede cambiar debido al cambio de coordenadas. Además, sabes cómo$\partial_\mu f$transforma Resulta que$d\bar{x}^\mu/d\tau$(¡Observe las derivadas completas!) debe transformarse como un vector. Esto funciona incluso si el espacio-tiempo no es plano (en cuyo caso$\bar{x}^\mu$no es un vector, pero$d\bar{x}^\mu/d\tau$es).

¿Responde a tu pregunta?

En primer lugar, como señaló knzhou en los comentarios, cometió un error en la ley de transformación de las coordenadas. Deberías haber definido$x^{\mu}$como una función de$y^{\nu}$,$x=x(y)$, y luego hemos tomado la derivada a través de la diferenciación de cadenas:

$$u^{\mu}_{(x)}(\tau)=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}(\tau)=\frac{d}{d\tau}\ x^{\mu}(y(\tau))=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial y^{\nu}}(y(\tau))\,\frac{dy^{\nu}}{d\tau}(\tau)=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial y^{\nu}}(y(\tau))\,u^{\nu}_{(y)}(\tau)$$

De ello se deduce que las componentes del vector velocidad se transforman de acuerdo con

$$u^{\mu}_{(x)}(\tau)=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial y^{\nu}}(y(\tau))\,u^{\nu}_{(y)}(\tau)$$

y, por lo tanto, no son independientes del marco (o de las coordenadas). De hecho, su ley de transformación es la apropiada para un vector y los convierte en cantidades covariantes , en lugar de cantidades invariantes.

Sin embargo, si define el vector de velocidad (es decir, no sus componentes, sino el vector real) para cualquier conjunto de coordenadas/para cualquier marco como

$$u|_{\tau}=u^{\mu}_{(x)}(\tau)\,\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\bigg|_{x(\tau)}$$

como lo haría en geometría diferencial, entonces de la ley de transformación para los componentes se sigue que

$$u|_{\tau}=u^{\mu}_{(x)}(\tau)\,\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\bigg|_{x(\tau)}=u^{\nu}_{(y)}(\tau)\,\frac{\partial x^{\mu}}{\partial y^{\nu}}(y(\tau))\,\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\bigg|_{x(\tau)}=u^{\nu}_{(y)}(\tau)\,\frac{\partial}{\partial y^{\nu}}\bigg|_{y(\tau)}=u|_{\tau}$$

donde he usado

$$\frac{\partial x^{\mu}}{\partial y^{\nu}}(y)\,\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\bigg|_{x(y)}=\frac{\partial}{\partial y^{\nu}}\bigg|_{y}$$

es decir, el vector velocidad es una cantidad geométrica bien definida, independiente de las coordenadas.

Entonces, la respuesta a su primera pregunta es: sí, pero esto en realidad es válido para cualquier marco, no limitado a los marcos inerciales (observe que en ninguna parte de la derivación dada anteriormente he asumido que$x$y$y$son coordenadas asociadas a un marco inercial:$x=x(y)$es una transformación general de coordenadas). Dado que las coordenadas son arbitrarias, la ley de transformación seguramente también se cumple en la relatividad general, por lo tanto, la respuesta a su tercera pregunta también es: sí.

En cuanto a su segunda pregunta, creo que la declaración de su maestro debería modificarse a "definimos la velocidad 4 por una expresión que es la misma en todos los marcos, por lo tanto, es una cantidad independiente de marcos". Y por supuesto, como habrás adivinado, debes demostrar que dicha expresión es la misma en todos los fotogramas, como hicimos anteriormente.

Tenemos que demostrar que

$${\eta}^{\mu}=\frac{{dx}^{\mu}}{d{\tau}}=\gamma{v}^{\mu}$$

es un invariante, es decir, es el mismo en todos los marcos inerciales.

Ahora

$${\eta}^0=\frac{dx^0}{d{\tau}}=\frac{d(ct)}{{(\frac{1}{\gamma})}dt}=\gamma c,$$

entonces

$${\eta}^{\mu}=\gamma(c,v_x,v_y,v_z),$$

de lo que se deduce que

$${\eta}_{\mu}{\eta}^{\mu}={\gamma}^2(c^2-{v_x}^2-{v_y}^2-{v_x}^2)$$

La última expresión se puede escribir como

$${\gamma}^2 c^2(1-{\frac{v^2}{c^2}})=\frac{{\gamma}^2c^2}{{\gamma}^2}=c^2,$$

entonces en cada marco inercial

$${\eta}^{\mu} {\eta}_{\mu}=c^2$$

Ya sea que la partícula se detenga (aunque esto puede sonar extraño) o vaya a la velocidad de la luz (y cualquier velocidad entre estos dos extremos), su velocidad, como se definió anteriormente, siempre es c. Y por lo tanto absoluto.