¿Diferencia entre ⟹⟹\implica y ∴∴\;\por lo tanto\;\;?

"Parece que$\therefore$se usa con más frecuencia cuando se llega a la conclusión de un argumento, mientras que$\implies$(alternativamente$\rightarrow$) es para reclamos intermedios que se implican entre sí".

Su suposición es en gran medida correcta; mi única preocupación es tu descripción de$\implies$se usa para denotar afirmaciones intermedias (en una prueba o un argumento, por ejemplo) que se implican entre sí. El$\implies$denotación, como en$p \implies q$, simplemente transmite que la reivindicación anterior ($p$, si es cierto) implica la afirmación posterior$q$; es decir, no denota una implicación bidireccional$\iff$que dice "si y solo si".

'$\implies$' o '$\rightarrow$' se usa a menudo en un argumento de estilo "modus ponens" (de alcance corto): Si$p\implies q$, y si es el caso que$p$, entonces se sigue que$q$.

Por lo general, como usted nota,$\therefore$ayuda a significar la conclusión de un argumento: dado lo que sabemos (o asumimos como dado) como verdadero y dadas las implicaciones intermedias que siguen, concluimos que...

Entonces, en pocas palabras,$\implies$("que implica que") suele tener un alcance más corto, por lo general destinado a vincular, por implicación, la declaración anterior y lo que sigue de ella, mientras que '$\therefore$' tiene típicamente, aunque no siempre, un mayor alcance, por así decirlo, vinculando los supuestos/dados iniciales, las implicaciones intermedias, con "lo que se iba a mostrar" en, digamos, una prueba o argumento.

Agregado:

Encontré la siguiente entrada de Wikipedia sobre el significado/uso del símbolo'$\therefore$' , de la que citaré:

Para denotar implicación o vinculación lógica, se utilizan varios signos en lógica matemática:$\rightarrow, \;\implies, \;\supset$y ⊢, ⊨. Estos símbolos son entonces parte de una fórmula matemática y no se consideran signos de puntuación. Por el contrario, el signo por lo tanto$[\;\therefore\;]$se utiliza tradicionalmente como signo de puntuación y no forma parte de una fórmula.

También se refiere al "complementario" del símbolo "por lo tanto".$\;\therefore\;$, a saber, el símbolo$\;\because\;$, que denota "porque".

Ejemplo:

$\because$Todos los hombres son mortales.
$\because$Sócrates es un hombre.
$\therefore$Sócrates es mortal.

$\therefore$y$\implies$son bastante diferentes!

"Por lo tanto" y "por lo tanto" y "como consecuencia" son todos sinónimos. El uso es "A, luego B", que significa "A es verdadero, y se sigue que B es verdadero". Nótese que se está afirmando la verdad de A. Látex \por lo tanto ($\therefore$) da el triángulo de puntos que se ha usado durante mucho tiempo para significar "por lo tanto".

"Porque" es lo mismo al revés. "B porque A" significa que B es verdadero porque A es verdadero. Esto contiene la afirmación de que A es verdadero. Látex \porque ($\because$) da el triángulo de puntos invertidos que se ha usado durante mucho tiempo para significar "porque".

"Implica" es completamente diferente. "A implica B" significa que SI A es verdadero, entonces B también lo es. No hace ninguna declaración sobre la verdad de A. Latex \implica ($\implies$), \Flecha correcta ($\Rightarrow$), y \Longrightarrow ($\Longrightarrow$) todos dan la doble flecha hacia la derecha que a menudo se usa para significar "implica". A veces se usa una sola flecha hacia la derecha, que tiene el mismo significado.

Es muy común usar el símbolo \implica en lugar de "por lo tanto", pero dado que "implica" y "por lo tanto" tienen significados significativamente diferentes, se trata de una escritura muy mala.

Hay cuatro símbolos lógicos para aclarar:

1. '$\to$' (o '$\supset$') es un símbolo que pertenece a varios lenguajes formales (por ejemplo, el lenguaje de la lógica proposicional o el lenguaje del cálculo de predicados de primer orden) para expresar [¡normalmente!] el condicional veritativo-funcional.$A \to B$es una sola proposición condicional, que por supuesto no afirma ni$A$ni$B$.
2. '$\vdash$' es una expresión añadida al inglés lógico (o español o lo que sea) -- pertenece al metalenguaje en el que hablamos de relaciones de consecuencia entre oraciones formales. Y por ejemplo$A, A \to B \vdash B$dice en inglés aumentado que en algún sistema deductivo relevante, hay una prueba de las premisas$A$y$A \to B$a la conclusión$B$. (Si estamos siendo realmente quisquillosos, escribiríamos '$A$', '$A \to B$'$\vdash$'$B$pero siempre se entiende que$\vdash$viene con comillas invisibles.)
3. '$\vDash$' es otra expresión añadida al inglés de los lógicos (o español o lo que sea) -- nuevamente pertenece al metalenguaje en el que hablamos de relaciones de consecuencia entre oraciones formales. Y por ejemplo$A, A \to B \vDash B$dice que en la semántica relevante, no hay valoración que haga las premisas$A$y$A \to B$cierto y la conclusión$B$FALSO.
4. $\therefore$se agrega como puntuación a algunos lenguajes formales como marcador de inferencia. Entonces$A, A \to B \therefore B$es una expresión de lenguaje de objetos ; y (a diferencia de la metalingüística$A, A \to B \vdash B$), esto consiste en tres afirmaciones separadas$A$,$A \to B$y$B$, con un marcador que se utiliza apropiadamente cuando el tercero es consecuencia de los dos primeros. (Pero NB, un marcador de inferencia no debe considerarse como una afirmación de que se está haciendo una inferencia).

Como para '$\Rightarrow$', esto, como el uso de 'implica', parece usarse informalmente (especialmente por no lógicos), en diferentes contextos para cualquiera de los tres primeros. Entonces, me temo que solo debe tener cuidado de dejar que el contexto se desambigüe. (Y NB en el segundo y tercer uso donde '$\Rightarrow$' se lee más apropiadamente como 'implica' que no hay diferencia de alcance con '$\therefore$'. En cualquier caso, podemos tener muchas wff antes del marcador de implicación/inferencia).

Contrasta estos:

• Niego que estuviera planeando robar este banco. Si hubiera estado planeando robar este banco, estaría usando un pasamontañas.

• Estaba planeando robar este banco. Por lo tanto, estoy usando una máscara de esquí.

Línea$(1),$por otro lado, tampoco especifica que las oraciones$A$y$B$son realmente verdaderas, ni afirma que la oración$C$es verdad. De hecho, tiene tres significados posibles, ninguno de los cuales es equivalente (convéncete usando las asignaciones de verdad$(0,0,0)$y$(1,0,0)$):

Si la diferencia entre líneas$(2)$y$(1\text c)$parece trivial y solo es una cuestión de inferir contextualmente el significado más fuerte según sea necesario, luego contrastar esta declaración verdadera

Considerándolo todo, creo que es una mala práctica tratar$\implies$y$\,\therefore\,$como intercambiable.

Aquí hay varios artículos que exponen su distinción:

1. implicación versus conclusión
2. “implica” versus “por lo tanto”
3. guía para escribir matemáticas (pág. 17)
4. abuso del símbolo de implicación