Usar símbolos lógicos con "fluidez" en matemáticas. ¿Cómo puedo demostrar que un conjunto de condiciones, representado por símbolos lógicos, es independiente de otro?

Estoy tratando de mejorar mis habilidades en la redacción de pruebas. Al hacerlo, muchas de las declaraciones matemáticas que encuentro involucran muchos "conjuntos" de condiciones "independientes", que se representan convencionalmente usando símbolos lógicos.

Quiero dar una advertencia justa a los lectores: soy un novato en la redacción de pruebas de lógica y matemática, y como tal, algo de lo que sigue puede parecer un galimatías. Esto es probablemente debido a mi inexperiencia declarada. Sin embargo, quiero asegurar a los lectores que no es mi intención hacerles perder el tiempo. Mi objetivo es aprender a formar enunciados matemáticos precisos y elegantes usando el simbolismo convencional.

Por ejemplo, tome la declaración matemática, "Muestre que el número real solo es divisible por 1 y por sí mismo". Al escribir esto matemáticamente, quiero convertir el inglés matemático precisamente en símbolos/notación matemáticos/lógicos. Sin embargo, quiero que la representación puramente matemática de la declaración sea "fluida". Esta "fluidez" depende de la "independencia" de las secciones de las declaraciones matemáticas, representadas en inglés por puntos (.) o comas (,).

Muestra esa norte k = C

Esta declaración es obviamente incompleta; requiere más información, que generalmente se agrega usando notación matemática/lógica:

(1) ∀   norte ∈ Z > 1

(2) k = 1 ∨ k = norte

¿Observe que esta declaración matemática requiere dos condiciones "independientes" para que tenga sentido? Cuando digo independiente, quiero decir que una condición es independiente de la otra.

Y otras afirmaciones matemáticas podrían tener más de 2 condiciones independientes.

Si simplemente los uniéramos, obtendríamos algo que no es una representación fluida, precisa o correcta del inglés matemático:

norte k = C   ∀   norte ∈ Z > 1   k = 1 ∨ k = norte

Observe también cómo los símbolos lógicos se "superponen", ya que no existe el equivalente de un punto (.) o una coma (,). En otras palabras, no hay forma de distinguir qué secciones del enunciado matemático son independientes o dependientes.

Entonces, ¿cómo me uno a la declaración matemática? norte k = C con las condiciones ∀   norte ∈ Z > 1 y k = 1 ∨ k = norte ? En otras palabras, ¿cómo convierto el inglés matemático en una representación fluida y correcta usando notación matemática/lógica?

Esto es algo que me ha estado preocupando durante bastante tiempo, y estoy ansioso por aprender la forma correcta de escribirlos. Espero que mi pregunta haya sido capaz de transmitir esto de manera efectiva.

Gracias.

Los cuantificadores (generalmente) deben conducir y las "condiciones" (generalmente) son antecedentes de los condicionales: ∀ norte ∈ Z   ∀ k   [ ( norte > 1 ∧ k | norte ) → ( k = 1 ∨ k = norte ) ] .
Puede consultar: Peter Smith, An Introduction to Formal Logic (2003) y Benson Mates, Elementary Logic (1972).
@MauroALLEGRANZA Gracias por sus amables recomendaciones. Actualmente estoy estudiando How to Read and Do Proofs de Daniel Solow . Como tal, creo que es mejor evitar la superposición estudiando algo que esté más cerca de la lógica que la redacción de pruebas matemáticas. ¿Qué texto específico sugeriría para este propósito?
Puede navegar por las TOC con Google... Pero Bloch es más matemática que registro matemático.
"Excepto cuando hables de lógica, evita escribir los siguientes símbolos en tu tarea:..." Luego pasan a enumerar todos los cuantificadores (universales, existenciales, etc.), el símbolo de implicación y terminan usando "etc". para implicar toda la notación lógica (pág. 6). Hacen esto para ayudar a los escritores de pruebas a evitar confusiones y símbolos innecesarios. Estoy de acuerdo con ellos, por muy tentador que sea tratar de ser sucinto usando notación lógica. Recomiendo altamente este libro. Fuente: "Pruebas matemáticas; una transición a las matemáticas avanzadas" por Gary Chartrand, Albert D. Polimeni y Ping Zhang.
Hola @floorcat, gracias por tomarte el tiempo de responder. Si ya estoy leyendo un libro de texto sobre redacción de pruebas matemáticas, ¿sería más productivo leer un libro centrado en la lógica o el que me han recomendado? Puede haber una superposición significativa entre los diferentes libros de texto de redacción de pruebas matemáticas. Además, ¿puede dar más detalles sobre lo que dijo con respecto a los símbolos lógicos? No aprecio mucho lo que dice (probablemente debido a la inexperiencia). Gracias.
Eso depende de más de unas pocas cosas. La lógica es su propio campo. Por supuesto, se cruza con las matemáticas (lógica matemática), pero la lógica pura en sí misma es muy diferente. Una fórmula bien formada en lógica (teorema) es una sola cadena de variables (y predicados, en órdenes superiores) que se prueba por contraposición o con tablas de verdad. En matemáticas, un teorema no es solo una sola línea de variables y operadores, requiere texto para explicar aspectos del mismo. (1/2)
Si está interesado en la lógica formal, le recomendaría estudiar demostraciones en lógica. Habrá superposición (muchos conceptos de prueba se usan ampliamente), pero cómo y cuándo usar un método probablemente variará considerablemente más. Los símbolos lógicos son cualquier símbolo utilizado en la lógica. ∀ o ∧ ∨ . La lógica puede ser muy confusa en términos de convención. Mi entrenamiento usó flechas solamente, así que ∧ es ↑ para un ejemplo. Evitar toda la notación lógica en las pruebas matemáticas ayuda a mantener tu escritura clara y comprensible, en mi humilde opinión. (2/2)
@floorcat Ya veo. Entonces, ¿se recomienda que los matemáticos usen inglés matemático? Aunque, a menudo se ve un uso intensivo de símbolos lógicos en matemáticas (teoría de conjuntos). No puedo imaginar cómo sería productivo o preciso usar el inglés matemático.
@ThePointer Definitivamente hay una necesidad de equilibrio. La teoría de conjuntos tiene su propia notación (comparar Quine con Godel, por ejemplo), que utiliza símbolos lógicos. Dicho esto, es más útil expresar cosas matemáticas en símbolos matemáticos, no en inglés [como has "señalado";)]. Por otro lado, si puedo decir la frase "para todo x, tal que" realmente no necesito usar el cuantificador universal. Es muy simple de decir en inglés, y muy fácil de entender. ¿Eso ayuda?
@floorcat Efectivamente. Gracias por sus amables comentarios.
Mi placer. :)

Respuestas (2)

Salvo prueba formal en el estudio de la lógica, se recomienda utilizar oraciones completas en lugar de símbolos en una buena escritura matemática. Es decir, en lugar de decir:

Tenemos

∀ norte , k ∈ Z   ( norte > 1 ∧ ( k = 1 ∨ k = norte ) → ∃ C ∈ Z   ( norte k = C ) )

Tu dirías:

Considere una arbitraria norte , dónde norte ∈ Z y norte > 1 , y deja k = 1 o k = norte . Muestra esa:

norte k = C

A menos que necesite escribir en lógica de primer orden (para verificadores de prueba o derivaciones de estilo Fitch), el último método es mucho más legible. La buena escritura implica lograr un equilibrio entre la comprensibilidad y la brevedad/falta de ambigüedad. Si desea aprender a escribir una buena prueba en el sentido habitual, ¡haga que su escritura sea más fácil para el lector!

Aquí hay un montón de recursos que perforarán esto. Cada uno de estos, en algún sentido, dice lo que dice mi respuesta aquí: evite este tipo de taquigrafía.

Fuente 1

Fuente 2

Fuente 3

Fuente 4

En realidad solo diría "Dado cualquier número entero norte > 1 , si k = 1 o k = norte entonces norte k es un número entero".
@user21820 Como lo haría yo. Pero a veces el conjunto norte pertenece puede escribirse mejor en notación. Traté de mantener tanta notación formal como pudiera ser necesaria en la mayoría de los escenarios.
@ user21820 También secuestré su fórmula de primer pedido, ¡así que gracias!
ah Si uso la notación de conjuntos para enfatizar la membresía en ella, agruparía todo junto como Z > 1 . Pero ciertamente estamos de acuerdo en que no podemos escribir " ∀   norte ∈ Z > 1 ". =)

La forma correcta de escribir su declaración simbólicamente (según mi conjetura de lo que quiere decir) es:

∀ norte , k ∈ Z   ( norte > 1 ∧ ( k = 1 ∨ k = norte ) → ∃ C ∈ Z   ( norte k = C ) )

Por cierto, siempre es posible expresar cualquier enunciado matemático en forma simbólica. De hecho, para casi todas las matemáticas modernas, si no se puede hacer en algún formato fijo (como una oración de primer orden sobre ZFC), ¡entonces no es una declaración matemática! Sin embargo, como han señalado otros, en la escritura matemática usamos símbolos para facilitar la comprensión, y no solo por el bien de la concisión o la precisión. Incluso si el objetivo es que sea verificable por computadora, es muy poco común que se usen símbolos en lugar de palabras clave ASCII, porque es difícil escribir símbolos. Por ejemplo, Coq usa la palabra clave "para todos" y no el símbolo " ∀ ".

En mi opinión, una forma clara de expresar su declaración por escrito sería:

Dado cualquier número entero norte > 1 , si k = 1 o k = norte entonces norte k es un número entero.

Es apenas un poco más largo que la forma simbólica y, sin embargo, transmite toda la información en una oración en inglés fácilmente legible. Si desea una versión más corta, puede usar más símbolos (que necesitarían más definiciones previas):

Dado cualquier norte ∈ Z > 1 , si k ∈ { 1 , norte } entonces norte k ∈ Z .

Es claramente una compensación entre la legibilidad y la concisión. Tenga en cuenta que un factor importante es el uso de la notación teórica de conjuntos, que se usa comúnmente en la escritura matemática moderna. Además, es una convención entendida dejar de lado los cuantificadores universales en el nivel más externo como para " k " aquí.

Usando libremente la notación de teoría de conjuntos con lógica de primer orden, podemos escribir una versión corta pero claramente equivalente de su declaración:

∀ norte , k ∈ Z   ( norte > 1 ∧ k ∈ { 1 , norte } → norte k ∈ Z ) .

Usar símbolos lógicos con "fluidez" en matemáticas. ¿Cómo puedo demostrar que un conjunto de condiciones, representado por símbolos lógicos, es independiente de otro?
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