¿Diferencia entre ⟹⟹\color{red}{\implies}, ⟸⟸\color{red}{\Longleftarrow} y ⟺⟺\color{red}{\Longleftrightarrow} y cuándo usan cada uno?

A menudo me encuentro con los símbolos lógicos ⟹ , ⟸ , y ⟺ en texto matemático. Personalmente, uso con frecuencia ⟹ cuando hago matemáticas, pero tengo curiosidad en qué situaciones cada uno debe usarse correctamente .

Aunque uso con frecuencia ⟹ , me he dado cuenta de que muchas veces lo hago de forma incorrecta; por ejemplo, a veces me dicen que no debería haber usado una implicación ( ⟹ ) símbolo, porque la ecuación no está necesariamente implicada directamente (o algo por el estilo). En el contexto de las matemáticas, parece que mi uso de estos símbolos es descuidado, lo que en sí mismo indica una falta de comprensión.

Cuál es la diferencia entre ⟹ , ⟸ , y ⟺ en matemáticas, y cuándo es apropiado/correcto usar cada uno? Hable sobre esto en el contexto de las matemáticas elementales (escuela secundaria y universidad temprana) para que sea fácilmente comprensible.

Agradecería mucho que la gente se tomara el tiempo de aclarar estos conceptos.

Lo que observo con frecuencia es que la gente no sabe la diferencia entre " = " y " → ". También debe tener cuidado de no usar ⇔ en cálculos sucesivos cuando en el siguiente paso es simplemente falso.
Curiosamente; el comúnmente usado ∴ símbolo se define como A ∧ ( A → B ) . Que tiene el significado de Y las dos expresiones entre las que se escribió juntas. Se lee como: Tomando la primera expresión como verdadera, si la primera entonces tenemos la segunda. No es parte de su pregunta original, pero pensé que sería una buena idea mencionar esto.
Además del comentario de @ user400188, la diferencia entre implica y, por lo tanto, con frecuencia no es notada por muchos usuarios indebidos del ⟹ símbolo.
@ryang, gracias por vincularme a esa respuesta tuya. Fue una buena lectura.

Respuestas (3)

El uso de ⟹ es apropiado si lo que le sigue es consecuencia de lo que le precede. Por ejemplo,

X = 5 ⟹ X 2 = 25
es un uso adecuado. Sin embargo, en la mayoría de los contextos
X 2 = 25 ⟹ X = 5
es un uso inválido, a partir de X 2 = 25 no serías capaz de concluir que X = 5 , ya que también ( − 5 ) 2 = 25 . Tenga en cuenta, sin embargo, en un contexto en el que ha establecido que X es un número natural, el uso anterior es válido, como en ese caso de hecho, de X 2 = 25 puedes concluir que X = 5 (desde − 5 no es un número natural).

A ⟸ B es exactamente igual que B ⟹ A , por lo tanto, por ejemplo

X 2 = 25 ⟸ X = 5
es un uso correcto. Puede usarlo si, por alguna razón, quiere decir primero la implicación. Cuál de las formas que use es una cuestión de estilo, siempre y cuando se asegure de que la conclusión esté en el extremo puntiagudo de la flecha.

A ⟺ B significa que ambos A ⟹ B y B ⟹ A (resp. A ⟸ B ). Se usa si cualquiera de los lados se sigue del otro. Por ejemplo,

X 2 = 25 ⟺ X = − 5 ∨ X = 5

" PAG ⟸ q "se define para significar" q ⟹ PAG ", y " PAG ⟺ q "se define para significar" PAG ⟹ q y q ⟹ PAG ". Así que todos estos símbolos se pueden expresar en términos del símbolo básico" ⟹ ".

Su significado es simple afirmación de implicación. " PAG ⟹ q " es solo la afirmación de que cada vez que PAG es verdad, q también es necesariamente cierto. No afirma que ninguno de estos sea verdadero, solo que la verdad de uno es una consecuencia de la verdad del otro siempre que eso ocurra.

Cada vez que desee abreviar una implicación. Por ejemplo, "X es un cuadrado ⟹ X es un rectángulo".

Es de uso convencional ⟺ en lugar de iff (una abreviatura de si y solo si ), solo diga que en la declaración generalmente usamos iff y cuando escribimos una declaración matemática podemos usar ⟺ como

norte es incluso si norte + 1 es impar.

k | norte ⟺ ∃ ℓ ∈ Z : norte = k ℓ

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