Diferencia de fase de la frecuencia de conducción y la frecuencia de oscilación

La frecuencia del oscilador$\omega$no dice nada sobre la fase real del oscilador. Supongamos que su oscilador oscila libremente así:

Generalmente se escribe la fuerza externa de la misma manera:

La fase de velocidad de la partícula se desplaza con respecto a la coordenada de la partícula.

EDITAR: El cambio de fase permanente de$\pi/2$en un caso resonante con fricción (como se describe en la respuesta del usuario 17581) es algo autoestablecido y su significado es simple: la fuerza externa al final compensa exactamente la fuerza de fricción; siendo este último proporcional a la velocidad que se desplaza por$\pi/2$con respecto a la dependencia temporal de las coordenadas (por lo que el oscilador oscila como si fuera libre, sin pérdidas).

Dependerá de si se tienen en cuenta o no los efectos de amortiguamiento.

Invocando la segunda ley de movimiento de Newton, se puede escribir una ecuación diferencial para el movimiento de un oscilador armónico amortiguado (que incluye un término de fuerza impulsora sinusoidal externa):

$m\frac{d^2x}{dt^2}+2m\xi\omega_0\frac{dx}{dt}+m\omega_0^2x=F_0\sin\left(\omega t\right)$

Dónde$m$es la masa inercial del sistema,$\omega_0$es su frecuencia característica,$\xi$un factor de amortiguamiento adimensional... Y, por último, pero no menos importante, donde$F_0$es la amplitud de la fuerza impulsora y$\omega$su frecuencia.

El estacionario ($t\rightarrow\infty$) la solución toma la forma$x\left(t\right)=A_0\sin\left(\omega t-\varphi_0\right)$, donde$A_0$es un factor de amplitud (cuya expresión particular en términos de los parámetros particulares no es relevante para esta pregunta) y$\varphi_0$es el retraso de fase, que es esta diferencia de fase sobre la que está preguntando.

Esta diferencia de fase se puede calcular como$\varphi_0=\left|\arctan\left(\xi\dfrac{2\omega\omega_0}{\omega^2-\omega_0^2}\right)\right|$. Es un retraso de fase, por lo que con la convención de fase elegida (implícitamente), tiene que ser positivo.

Si no hubiera ningún tipo de amortiguación en el sistema,$\xi$sería cero, y tendrías razón:$\varphi_0=0$. El movimiento estacionario del oscilador estaría en fase con la fuerza motriz (independientemente de cuál sea la relación entre$\omega$y$\omega_0$).

Pero en una situación resonante no amortiguada la amplitud$A_0$diverge, lo que significa que nunca se alcanza la solución estacionaria (a partir de condiciones iniciales razonables y finitas para el sistema). Además, en una situación física con los pies en la tierra, el sistema eventualmente colapsaría en algún lugar , de alguna manera , ya que la energía se introduce en el sistema con una eficiencia perfecta (de eso se trata la 'resonancia') y sin ningún medio para disiparla. . En algún lugar, tarde o temprano, algo explotaría o se estrellaría . Así de desagradables son las resonancias no amortiguadas.

Por otro lado, para un amortiguamiento distinto de cero, en el caso resonante$\omega=\omega_0$, el argumento de la$\arctan$la función diverge, por lo que la diferencia de fase resulta ser en este caso$\frac{\pi}{2}$.

Para resumir, el$\frac{\pi}{2}$La fase aparece como un efecto de amortiguamiento en el sistema, y ​​solo un poco es suficiente para compensar la respuesta oscilatoria del sistema. Da la casualidad de que todo sistema armónico realista y con los pies en la tierra tiene algún tipo de amortiguamiento en su dinámica. Incluso si el amortiguamiento es tan pequeño que el desfase inducido en una situación fuera de resonancia es insignificante para todos los propósitos que tiene el modelo, el amortiguamiento debe tenerse en cuenta en el movimiento resonante y estrechamente resonante, de lo contrario, el modelo produce resultados muy poco físicos. .

Para que ocurra la resonancia (en$\gamma$=0 y$\omega=\omega_0$), el sistema debe ser capaz de absorber toda la entrada de energía proveniente de la fuerza motriz externa, y esto resulta en un crecimiento incesante de la amplitud. Para que esto suceda, la fuerza externa, que no tiene que estar en forma de seno/coseno, debe ser positiva (empujando hacia adelante) mientras el oscilador viaja de$-A$(amplitud) a$+A$, y la fuerza externa debe ser negativa (tirando hacia atrás) mientras el oscilador viaja desde$+A$a$-A$.

La siguiente gráfica muestra la solución de$\ddot{x}(t)+\omega_0^2x(t)=f(\omega_0 t)$donde$f(\omega t)$es una onda cuadrada de frecuencia$\omega$aquí coincide con la frecuencia natural del oscilador armónico$\omega_0$. La amplitud crece en el tiempo debido a la resonancia ($\omega=\omega_0$) como se esperaba.

Se puede observar en el gráfico anterior que la fuerza es positiva mientras el oscilador viaja en dirección hacia adelante (región sombreada en verde), y la fuerza es negativa mientras el oscilador viaja en dirección hacia atrás (región sombreada en rosa); esto conduce a una absorción completa de la energía de la fuerza motriz.

Ahora tengamos una fuerza externa de onda sinusoidal en lugar de una onda cuadrada. El resultado es el mismo, pero esta vez podemos discutir la diferencia de fase entre las dos ondas sinusoidales (la amplitud y la fuerza externa). A partir de la trama, se puede ver cómo$x(t)$y la fuerza tiene una diferencia de fase de$\phi=\pi/2$.

En términos simples, la fuerza debe ser positiva (hacia adelante) mientras el oscilador se mueve hacia adelante y viceversa. (Tenga en cuenta que esta declaración no dice que la fuerza debe ser positiva cuando la amplitud del oscilador es positiva).

Finalmente, que la fase$\phi = \arctan \left( \frac{2 \xi \omega \omega_0}{\omega^2 -\omega_0^2} \right)$se vuelve igual a$\pi/2$cuando$\omega \rightarrow \omega_0$(aquí$\omega_0=3$) y$\xi \rightarrow 0$se puede ver en la gráfica de abajo. Para$\omega \rightarrow \omega_0=3$, obtenemos$\phi=\pi/2$para todos los valores distintos de cero de$\xi$. Cuando$\xi=0$, obtenemos una función de paso (no se muestra en la gráfica), pero podemos considerar$\phi=\pi/2$por cualquier valor de$\xi$que es arbitrariamente cercano a cero.

¿Quieres ver todo esto en acción? Aquí hay un video del MIT: https://www.youtube.com/watch?v=aZNnwQ8HJHU

Espero que todo esto ayude.

[SHM= MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE]

La diferencia de fase entre la oscilación forzada de la masa y la oscilación del controlador es de 180°. La oscilación del controlador se refiere a la oscilación de la fuerza que causa el SHM. Entonces, un gráfico de oscilación del controlador probablemente significa un gráfico de variación/oscilación de fuerza, con respecto al tiempo, que causa MAS; este tendrá una forma similar a la de un gráfico aceleración-tiempo de SHM ya que F=ma. Por otra parte, la oscilación forzada de la masa se puede representar mediante una gráfica de desplazamiento-tiempo. Si alguna vez ha analizado los gráficos básicos de aceleración-tiempo y desplazamiento-tiempo para SHM, se habrá dado cuenta de que ambos están desfasados ​​180° entre sí (y también lo están el conductor (fuerza impulsora) y las oscilaciones forzadas (de masa). ) de cada uno).

[Acabo de usar mi conocimiento básico de nivel A para responderlo, agradeceré si alguien me corrige]

La razón queda clara si dibujas las gráficas de desplazamiento contra tiempo y velocidad contra tiempo. Notará que el gráfico de tiempo de desplazamiento es una curva de coseno (suponiendo que comience en la amplitud máxima) y el gráfico de velocidad es una curva de seno, por lo que se ha desplazado pi/2 a la derecha. Por lo tanto, a una diferencia de fase de pi/2, las velocidades están en fase, lo que da una energía cinética máxima: aumenta la amplitud.