Diferencia de entropía entre los estados inicial y final de una célula fotónica esférica que colapsa en un agujero negro

(Nota: siempre uso unidades de Planck ).

El estado inicial está muy bien definido, diría que tiene entropía cero. Supongamos que un agujero negro de masa$M$(dónde$M=E$es la energía de radiación inicial), se crea a partir de este estado inicial. Tiene impulso cero y carga cero, es un agujero negro de Schwarzschild: su único parámetro es$M$. El agujero negro tiene radio.$R=2M$y entropía

$$S_H=A/4=\pi R^2=4\pi M^2 ,$$ dónde $A=4\pi R^2$es el área del horizonte del agujero negro (fórmula de Hawking). Luego, el agujero negro se evapora, lo que significa que está radiando como un cuerpo negro a una temperatura $$T=\frac{1}{8\pi}M^{-1}.$$ durante un tiempo $\def\d{\mathrm d}\d t$, el agujero negro irradia una energía $\d W=P\d t$, por lo que su masa se reduce en $\d M=-P\d t$. La entropía del agujero negro disminuye en $$\d S_{\rm BH}=\d A/4=8\pi M\,\d M$$ mientras que la entropía del resto del universo aumenta en $$\d S_0=\d W/T=-(8\pi M)\d M.$$ La variación total de la entropía del universo es $$\d S=\d S_{\rm BH}+\d S_0=8\pi M\,\d M-8\pi M\d M=0.$$ Entonces, cuando el agujero negro se evapora por completo, la entropía del universo ha aumentado en $$\Delta S=4\pi M^2,$$ la entropía creada en la formación del agujero negro.

Durante esta historia, los fotones iniciales en un orden perfecto se han transformado en diferentes partículas, radiadas aleatoriamente por el agujero negro en su horizonte.

Esta es simplemente una sugerencia para una respuesta (no puedo publicar comentarios todavía), pero podría usar la desigualdad de incertidumbre entrópica para calcular un límite inferior para la entropía (Shannon).

Tome un haz EM coherente esféricamente simétrico. Si no me equivoco, el volumen más pequeño al que puede enfocar el haz tiene un diámetro de al menos la longitud de onda (o en ese orden de magnitud), es decir, para el radio de Schwarzschild

$$\frac{2GM}{c^2}\ge\lambda$$

dónde$M$denota la masa del agujero negro correspondiente. Por otro lado, para la energía de un fotón tenemos

$$\frac{2\pi\hbar c}{\lambda}=\frac{Mc^2}{N}\ge\frac{c^4\lambda}{4GN}$$ dónde $N$es el número de fotones en el haz, entonces $$N\ge\frac{c^3\lambda^2}{8\pi\hbar G}=\frac{1}{8\pi}\left(\frac{\lambda}{l_P}\right)^2$$ Incluso para los rayos gamma ( $\lambda\approx10^{-12}m$), $$N\ge \sim 1.5\cdot 10^{44}$$ y para longitudes de onda comunes este número será mucho mayor. Por lo tanto, la posibilidad de que el agujero negro así formado se evapore en unos pocos fotones (o solo en fotones) es escasa. Todo esto para decir que puede asumir una simetría esférica casi perfecta de evaporación, pero el 'estado final' no se parecerá mucho al 'estado inicial'.