¿Es la planitud del espacio una medida de entropía?

Podemos asociar hasta cierto punto la curvatura de una solución a su entropía. La función de partición euclidiana en la relatividad general se puede aproximar por,

$$Z_{E} \approx \exp(-I_E)$$

dónde$I_E$es la acción euclidiana evaluada en todas las soluciones clásicas que tienen un período$\tau$coordinar con el periodo$\beta=1/k_BT$. La entropía del sistema está dada aproximadamente por,

$$S = k_B \frac{\partial }{\partial T}\left(T\log Z\right)$$

La acción de Einstein-Hilbert contiene el escalar de Ricci, es decir

$$I_{EH}=\int_M \mathrm{d}^d x \, \sqrt{-g} \, R$$

Por lo tanto, técnicamente, la entropía depende de la curvatura . Además, incluso para soluciones no triviales como la métrica de Schwarzschild, puede haber casos en los que$R=0$. Sin embargo, recuerde que para definir un principio de acción totalmente riguroso, debe complementarse con un término límite,

$$I_{GH} = \int_{\partial M} \mathrm{d}^{d-1}x \, \sqrt{-h} \, K$$

dónde$K$es la curvatura extrínseca, y$h_{ab}$la métrica inducida en el límite$\partial M$.

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Ejemplo de cálculo (solución de Schwarzschild)

Después de una rotación de Wick, teniendo en cuenta$\tau$es periodico con periodo$\beta$, la métrica está dada por,

$$\mathrm{d}s^2 = \left( 1- \frac{2GM}{r}\right)\mathrm{d}\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r} \right)^{-1}\mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \mathrm{d}\phi^2$$

Si elegimos una normal apropiada que apunta hacia adentro ,

$$n^{a} = - \sqrt{1-\frac{2GM}{r}}\delta^a_r$$

la curvatura extrínseca viene dada por$\nabla_{a} n^a$, es decir, la divergencia de la normal. Los pasos intermedios requieren la introducción de un corte radial$R$, y la resta del término límite del espacio plano con el mismo límite . Eventualmente, uno encuentra,

$$I_{GH} = \frac{\beta M}{2G} = \frac{A}{4G}$$

dónde$A$es el área del agujero negro. La entropía obtenida mediante el formalismo está de acuerdo con la entropía de Bekenstein-Hawking. (De hecho, el término límite se debió en parte a Hawking).

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Consulte http://perimeterscholars.org/448.html ; la lección 10 proporciona el cálculo para el agujero negro de Schwarzschild, y las lecciones anteriores discuten las matemáticas requeridas de las subvariedades.

Algunas observaciones:

Si consideramos un agujero negro de Schwarzschild, una medida local de la curvatura es la raíz cuadrada del escalar de Kretschmann $K = R_{abcd}R^{abcd}$. Si consideras la inversa de la curvatura, tienes:

$K(r)^{-\frac{1}{2}} \sim \dfrac{r^3}{GM} \tag{1}$

Por otro lado, la entropía total del agujero negro es:

$S \sim GM^2 \tag{2}$

[EDITAR]

Usted puede, por supuesto, pensar en$K^{-\frac{1}{2}}$, como una densidad de volumen de entropía, pero es falso, primero sabemos que tenemos que hacer alguna integral de alguna cantidad en el horizonte del agujero negro, que es una superficie, pero no un volumen, segundo la dimensionalidad de$K^{-\frac{1}{2}}$no es correcto, es$[K^{-\frac{1}{2}}] = M^{-2}$( y$[S] = M^0)$, mientras que debería ser$M^2$.

Además, el espacio plano no "maximiza" la entropía. Si uno imagina alguna región vacía del espacio, es decir, sin ninguna información, tampoco habrá entropía. Si comenzamos llenando esta región del espacio con energía y cantidad de movimiento, habrá información y entropía (vista como información "uniforme"). El máximo de entropía surge cuando la energía es tan importante en la región espacial elegida que tienes un agujero negro.

Si la curvatura/planitud del espacio es una medida de la gravedad, entonces esta planitud ciertamente puede considerarse una forma de indicar la entropía. Esto es así por una razón muy simple; y no es necesario ir al extremo y considerar los agujeros negros y la temperatura en su vecindad para ver esto.

Observe una cosa: la gravedad y la entropía son simplemente dos fenómenos (fuerzas) opuestos. La entropía es lo que hace que las partículas se alejen unas de otras . Si no está restringida por ningún límite, la entropía, que cambia naturalmente de menor a mayor, hará que las partículas se sigan propagando más y más (perdiendo energía y velocidad al mismo tiempo, pero esto no es tan importante aquí) dándoles más libertad. Por otro lado, la gravedad hace que las partículas se unan , se concentren. Nuevamente, si no está restringida, la gravedad hace que las partículas se acerquen unas a otras, restringe la libertad de las partículas.

Por lo tanto, cuanto más plano sea el espacio (menor gravedad), mayor será la libertad de partículas (mayor entropía). Obviamente, cuantas más partículas haya, más restringirán la libertad de las demás, ya que el número creciente de partículas no solo bloquea el movimiento, sino que también aumenta la gravedad que ejercen entre sí. Aún así, dadas dos áreas del espacio, en igualdad de condiciones, ciertamente puede decir que la que tiene mayor gravedad (que puede medir por planitud si lo desea) producirá una entropía más baja.

EDITAR: Me doy cuenta de que tal respuesta puede parecer demasiado simple al considerar entidades tan elevadas y misteriosas como los agujeros negros, pero... bueno...