Diagrama de fuerza para K&K 2.13 [cerrado]

Question

Diagrama de fuerza para K&K 2.13 [cerrado]

flakmonkey

He estado trabajando (independientemente) en el Problema 2.13 en An Introduction to Mechanics de Kleppner y Kolenkow y llegué a una respuesta que entra en conflicto con la sugerencia que los autores proporcionaron en el libro. El problema es este:

En el boceto se ilustra una "máquina pedagógica". Todas las superficies son sin fricción. que fuerza $F$ debe aplicarse a $M_1$ mantener $M_3$ de subir o bajar?

Aproximación de MS Paint de la imagen original

(Tenga en cuenta que $M_1$ está sentado en un plano nivelado que no está dibujado en mi reproducción del boceto original). $\\$

Tengo tres o cuatro páginas de manipulaciones y derivaciones de matrices que me llevaron a mi respuesta, pero como creo que mi error está en mis ecuaciones de fuerza y no en mis manipulaciones, no publicaré todo lo que he hecho a menos que alguien me lo solicite. entonces. Dejar $\vec{F}_{M_3}$ ser la fuerza en $M_{1}$ de $M_{3}$ , dejar $\vec{F}_{M_{1}}$ ser la fuerza en $M_3$ de $M_1$ , y deja $\vec{a}_n$ Sea el vector aceleración para $M_n$ . Para cada vector $\vec{u}$ , dejar $\vec{u}=\left<u_{x},u_{y}\right>$ y $\vert\vec{u}\vert=u$ . los vectores $\vec{T}_1$ y $\vec{T}_2$ son fuerzas de tensión.

{\vec{F}}_{{METRO}_{3}} + \vec{F} = {metro}_{1} {\vec{a}}_{1} {\vec{T}}_{2} = {metro}_{2} {\vec{a}}_{2} {\vec{T}}_{3} + {\vec{F}}_{{GRAMO}_{3}} + {\vec{F}}_{{METRO}_{1}} = {metro}_{3} {\vec{a}}_{3}

$\vec{F}_{M_3}+\vec{F}=m_{1}\vec{a}_1\\ \vec{T}_{2}=m_{2}\vec{a}_{2}\\ \vec{T}_{3}+\vec{F}_{G_3}+\vec{F}_{M_1}=m_{3}\vec{a}_{3}$

Desde $a_{1x}=a_{1}=a_{3x}$ , $F_{M_3}=F_{M_1}$ , y $T_{2}=T_{3}$ , encuentro (dejando $a_{3y}=0$ ),

F - F_{{METRO}_{3}} - {metro}_{1} a_{3 X} = 0 T_{3} - {metro}_{2} a_{3 X} = 0 F_{{METRO}_{3}} - {metro}_{3} a_{3 X} = 0 T_{3} = {metro}_{3} gramo

$F-F_{M_3}-m_{1}a_{3x}=0\\ T_{3}-m_{2}a_{3x}=0\\ F_{M_3}-m_{3}a_{3x}=0\\ T_{3}=m_{3}g$

Poner la matriz correspondiente en forma escalonada reducida por filas da

F = \frac{{metro}_{3} gramo ({metro}_{3} + {metro}_{1})}{{metro}_{2}} .

$F=\frac{m_{3}g\left(m_{3}+m_{1}\right)}{m_{2}}.$

La pista provista en el libro dice:

Para masas iguales, $F=3Mg$ .

mi respuesta da $F=\frac{Mg(M+M)}{M}=2Mg$ . ¿He tenido en cuenta correctamente todas las fuerzas que no se cancelan en mis ecuaciones de fuerza?

flakmonkey

He editado la pregunta original. Si mis ecuaciones de fuerza son incorrectas, entonces hay un malentendido de mi parte de los conceptos involucrados en el problema. Me esforcé bastante en presentar claramente mi problema y el trabajo que he hecho para resolverlo yo mismo, en parte para mostrar que mi problema es conceptual en lugar de computacional (si mi matemática es fácil de verificar, entonces está claro que mi error está en identificar las fuerzas involucradas, no en mis manipulaciones de las ecuaciones que he escrito). Además, puede ser que haya un error tipográfico en el libro (lo hice fácil de verificar). Vuelva a abrir esto.

Respuestas (2)

Diagrama de fuerza para K&K 2.13 [cerrado]

He editado la pregunta original. Si mis ecuaciones de fuerza son incorrectas, entonces hay un malentendido de mi parte de los conceptos involucrados en el problema. Me esforcé bastante en presentar claramente mi problema y el trabajo que he hecho para resolverlo yo mismo, en parte para mostrar que mi problema es conceptual en lugar de computacional (si mi matemática es fácil de verificar, entonces está claro que mi error está en identificar las fuerzas involucradas, no en mis manipulaciones de las ecuaciones que he escrito). Además, puede ser que haya un error tipográfico en el libro (lo hice fácil de verificar). Vuelva a abrir esto.

pppqqq · Answer 1

Estás introduciendo algunas variables irrelevantes, como $F_{M_3}$ , $T_1$ , $T_2$ . Supongamos que $T_1=T_2=T$ (la polea no gira y la cuerda no tiene masa). El todo tiene masa $M=m_1+m_2+m_3$ , acelera con $a$ y la fuerza sobre $M$ es

F = METRO a .

$F=Ma.$ La tensión

T

$T$ es igual

m_{2} a

$m_2 a$ y también

m_{3} g

$m_3g$ , entonces

a = \frac{{metro}_{3}}{{metro}_{2}} gramo .

$a=\frac{m_3}{m_2}g.$ Por eso

F = \frac{{metro}_{3}}{{metro}_{2}} METRO gramo .

$F=\frac{m_3}{m_2}Mg.$

El error en su análisis es que hay otra fuerza aplicada a $M_1$ , es decir, la fuerza ejercida por el alambre sobre la polea. Tiene una componente horizontal igual a $-T=-m_2 a$ , como muestra un poco de pensamiento. Agregando el $m_2a$ término a su primera ecuación, todo sale bien.

Y aquí está tu error: la fuerza en $m_1$ no es sólo $F+F_{M_3}$ ... también está la fuerza ejercida por $m_2$ !
Como arriba: vi la fuerza ejercida por $M_2$ , pero ¿no sería la suma de esa fuerza y la fuerza de gravedad sobre $M_1$ encontrarse con una fuerza normal de igual magnitud desde el plano $M_1$ se desliza? Si ese no fuera el caso, entonces no $M_1$ estar acelerando en la dirección de $-\hat{\mathbf{j}}$ ?

acrasia · Answer 2

acrasia

Pista.
Creo que el error está en tu primera ecuación, sumando las fuerzas para la masa M1:
$\vec{F}_{M_3}+\vec{F}=m_{1}\vec{a}_1\\$ .
Hay una fuerza adicional en M1 que ha omitido.

Edit: La polea ejerce una fuerza sobre M1.

flakmonkey

Por brevedad escribí la ecuación de esa manera, pero cuando trabajé en el problema escribí:

{\vec{F}}_{M_{2}} + {\vec{F}}_{M_{3}} + {\vec{F}}_{G 1} + {\vec{F}}_{N} + \vec{F} = m_{1} {\vec{a}}_{1}

$\vec{F}_{M_2}+\vec{F}_{M_3}+\vec{F}_{G1}+\vec{F}_{N}+\vec{F}=m_{1}\vec{a}_1$ . pero no lo haría

{\vec{F}}_{M_{2}} + {\vec{F}}_{G 1} + {\vec{F}}_{N} = 0

$\vec{F}_{M_2}+\vec{F}_{G1}+\vec{F}_{N}=\mathbf{0}$ ?

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flakmonkey

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pppqqq

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