Determine todas las funciones f:Q→Qf:Q→Qf:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} que satisfagan la ecuación funcional f(2f(x)+f(y))=2x+yf(2f(x) +f(y))=2x+yf(2f(x) + f(y)) = 2x + y

Determinar todas las funciones F definida sobre el conjunto de números racionales que toman valores racionales para los cuales

(1) F ( 2 F ( X ) + F ( y ) ) = 2 X + y
para cada x e y.

Esta pregunta es de la Olimpiada Nacional de Canadá de 2008.

La forma de la ecuación definitoria sugiere fuertemente una función lineal, y eso es todo lo que encontré. ¿Hay algún truco en alguna parte que admita otra clase de soluciones?

Desde X , y ∈ q pero si no toma todos los valores posibles, somos libres de imponer restricciones a voluntad.

(2) X = y = 0 : F ( 3 F ( 0 ) ) = 0

(3) y = X : F ( 3 F ( X ) ) = 3 X

(4) X = 0 : F ( 2 F ( 0 ) + F ( y ) ) = y

(5) y = 0 : F ( 2 F ( X ) + F ( 0 ) ) = 2 X

Por (5) y (2)Ver grand_chat el razonamiento de:

(6) F ( X ) = 0 ⟹ X = 0

Entonces por (2)de nuevo:

(7) F ( 0 ) = 0

Poner y = 2 X en (4) e igualar a (5):

F ( 2 F ( 0 ) + F ( 2 X ) ) = F ( 2 F ( X ) + F ( 0 ) ) ⟹ 2 F ( 0 ) + F ( 2 X ) = 2 F ( X ) + F ( 0 ) ( f invertible ) ⟹ 2 F ( X ) − F ( 2 X ) = F ( 0 ) = 0 (8) ⟹ F ( X ) = k X

Ahora por (3):

F ( 3 F ( X ) ) = F ( 3 k X ) = 3 k 2 X = 3 X ⟹ X = 0 ∨ k = ± 1

Por lo tanto

F ( X ) = k X , k ∈ { − 1 , 1 }

No veo tu lógica en (6). Cómo F ( X ) = 0 , F ( F ( 0 ) ) = 2 X y F ( 3 F ( 0 ) ) = 0 implica que X = 0 ? Puede que sea cierto (no he insistido), pero no es obvio.
Si F ( X ) = 0 para algunos X , entonces la LHS de eqn(5) se convierte en f(3f(0)) que es igual a 2 X en la ecuación (5) y para 0 en la ecuación (2). Entonces, esto solo puede suceder cuando X = 0 .
Si F ( X 0 ) = 0 entonces LHS de (5) se convierte en F ( F ( 0 ) ) = 2 X 0 . Entonces, ¿cómo podemos concluir que X 0 = 0 ?
@GAVD - Tienes razón. Creo que fue un sesgo de confirmación de mi parte (o simplemente una sustitución terriblemente descuidada). En cualquier caso, creo que el mejor enfoque es probar primero que F es inyectivo como lo hizo grand_chat.

Respuestas (1)

Primero establece que F es uno a uno: Si F ( X ) = F ( y ) = a , entonces por (1) tenemos F ( 3 a ) = 2 X + y . Intercambiando y y X en (1) rendimientos F ( 3 a ) = 2 y + X , por eso X = y .

Para mostrar que F ( X ) = 0 implica X = 0 , suponer F ( X ) = 0 . Entonces por (3), F ( 0 ) = 3 X . Pon esto en (2) para obtener F ( 9 X ) = 0 . Pero F es uno a uno, entonces X = 0 .

entonces obtenemos F ( 0 ) = 0 por (2). Ponga esto en (4) para obtener

(*) F ( F ( y ) ) = y para todos  y .

Aplicar F a ambos lados de (5) y use (*) para obtener 2 F ( X ) = F ( 2 X ) . Aplicar F a ambos lados de (1) y utilice (*) para obtener F ( 2 X ) + F ( y ) = F ( 2 X + y ) , de lo que concluimos que F es lineal.

A partir de aquí, haz el argumento habitual de que F ( r X ) = r F ( X ) para todo entero r , y luego que esto es válido para todos los racionales r . Poner X = 1 para conseguir eso F ( r ) = r F ( 1 ) , es decir, F ( X ) = k X para algunos racionales k . Continúe desde aquí hasta su conclusión de que k es igual 1 o − 1 .

Gracias. Ese es un buen argumento que F es uno a uno, que era necesario para demostrar que F es lineal..
Determine todas las funciones f:Q→Qf:Q→Qf:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} que satisfagan la ecuación funcional f(2f(x)+f(y))=2x+yf(2f(x) +f(y))=2x+yf(2f(x) + f(y)) = 2x + y
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