Dado x,y,z∈Cx,y,z∈Cx,y,z\in \mathbb C, x+y+z=0x+y+z=0x+y+z=0 y |x|=|y |=|z||x|=|y|=|z||x|=|y|=|z|, demuestre que x3=y3=z3x3=y3=z3x^3=y^3=z^3.

Dado z 1 , z 2 , z 3 ∈ C tal que

(C1) z 1 + z 2 + z 3 = 0
(C2) | z 1 | = | z 2 | = | z 3 | ,
Pruebalo
(C3) z 1 3 = z 2 3 = z 3 3 .

Fuente: Lista de problemas para el entrenamiento de concursos de matemáticas.

Mi intento: Por (C2), vamos ρ Sea el módulo común para | z j | , j = 1 , 2 , 3. Por lo tanto ∀ j ,

z j = ρ mi i θ j     y     z j 3 = ρ 3 mi i 3 θ j
Y, por (C1) se tiene que
mi i θ 1 + mi i θ 2 + mi i θ 3 = 0.
Pero (C3) implica
mi i 3 θ 1 = mi i 3 θ 2 = mi i 3 θ 3 .
y eso implica θ 1 = θ 2 = θ 3 (para θ j ∈ [ 0 , 2 π [ ). Pero eso parece ser inconsistente con (C1).

¿Hay algún problema con el enunciado del problema? sugerencias y respuestas son bienvenidas.

Respuestas (1)

(C3) no implica que θ 1 = θ 2 = θ 3 .

Toma por ejemplo θ 1 = 0 , θ 2 = 2 π 3 , θ 3 = 4 π 3

Entonces

mi i 3 θ 1 = mi 0 = 1
mi i 3 θ 2 = mi 2 π i = 1
mi i 3 θ 3 = mi 4 π i = 1

pero claramente θ 1 ≠ θ 2 , θ 1 ≠ θ 3 , θ 2 ≠ θ 3 .

Dado x,y,z∈Cx,y,z∈Cx,y,z\in \mathbb C, x+y+z=0x+y+z=0x+y+z=0 y |x|=|y |=|z||x|=|y|=|z||x|=|y|=|z|, demuestre que x3=y3=z3x3=y3=z3x^3=y^3=z^3.
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