calcular ∫cx2y2+zds∫cx2y2+zds\int_{c}x^2y^2+zds

Dejar C Sea la curva que es la sección de X 2 + y 2 = 4 y X 2 + y 2 + ( z − 2 ) 2 = 4

calcular ∫ C X 2 y 2 + z d s

Realmente no recuerdo cómo resolver estas integrales, intenté usar coordenadas esféricas pero no creo que ayude mucho, y luego traté de resolverlo así

X = 4 − y 2 , X ∈ [ 0 , 2 ] etc.

∫ 0 2 ∫ 0 2 ∫ 0 2 X 2 y 2 + z d X d y d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 8 / 3 y 2 + 2 z d y d z . . . = 200 / 9

No creo que sea correcto, ¿cómo puedo solucionar esto?

La intersección entre X 2 + y 2 = 4 y X 2 + y 2 + ( z − 2 ) 2 = 4 es el avión z = 2 . Por favor, aclare cómo se define la curva.
esa es la pronunciación del ejercicio, precisamente de mis notas, no estoy seguro de lo que significa, yo también estoy confundido
No creo que tu comentario sea del todo correcto, ya que esa es la intersección entre una esfera y un cilindro. no creo que todo z = 2 plano es la intersección
la intersección debe ser la curva 2 mi i t
La esfera está dentro del cilindro. X 2 + y 2 = 4 y la curva de intersección es X 2 + y 2 = 4 , z = 2 ,

Respuestas (1)

Según sus comentarios, ya se ha dado cuenta en su mayoría de que la curva C es descrito por C ( t ) = ( 2 porque ⁡ t , 2 pecado ⁡ t , 2 ) para t ∈ [ 0 , 2 π ] (tenga en cuenta que 2 mi i t no es del todo correcto porque estamos trabajando en R 3 por lo que tenemos que tener en cuenta la traslación vertical).

Usando la definición de la integral de línea para funciones escalares, tenemos

∫ C X 2 y 2 + z d s := ∫ 0 2 π ( ( 2 porque ⁡ t ) 2 ( 2 pecado ⁡ t ) 2 + 2 ) ‖ C ′ ( t ) ‖ d t = 2 2 ∫ 0 2 π ( ( 2 porque ⁡ t ) 2 ( 2 pecado ⁡ t ) 2 + 2 ) d t
El resto es integración estándar, usando sus identidades trigonométricas como porque 2 ⁡ X = 1 2 ( porque ⁡ 2 X + 1 ) . Wolfram Alpha dice que el resultado es dieciséis 2 π .

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