Detección homodina como medida cuántica

Creo que su confusión se basa en un malentendido: una detección homodina no mide directamente$\langle q \rangle$, pero un valor del operador$\hat q$, proyectando el estado en uno de sus autoestados, un estado infinitamente comprimido.

Esto es claro cuando se utiliza una detección homodina resuelta en el tiempo, según sea necesario para un protocolo de comunicación cuántica como la distribución de claves cuánticas de variable continua. El primer paso para usar dicha detección es calibrarla en vacío: no envía nada, ese es el estado de vacío.$\lvert0\rangle$— muchas veces en su detección de homodinos y hacer estadísticas. Si todo funciona correctamente, su resultado se distribuirá con una distribución gaussiana y su varianza (omitiendo el ruido electrónico) es la varianza del vacío.$\Delta Q=1$, y su promedio debería ser$\langle q \rangle=0$.

En muchos casos, los experimentadores de óptica cuántica solo se preocupan por la varianza, por ejemplo, para mostrar que están por debajo de la unidad para probar la compresión y, por razones prácticas, usan detecciones homodinas resueltas en frecuencia. En estos casos, el cálculo del promedio y la varianza a menudo se realiza de manera analógica mediante un analizador de espectro y esto conduce al abuso del lenguaje y la notación, diciendo$\langle q\rangle$en lugar de$\hat q$, porque cuando puedes medir$\hat q$, a menudo puedes medir$\langle q \rangle$, la tasa de repetición suele ser lo suficientemente alta como para que las estadísticas se recopilen efectivamente "instantáneamente". Sospecho que este tipo de atajo es la fuente de su confusión.

Buena pregunta. Para ser sincero, nunca pensé en el hecho de que la medida homodina es, en cierto sentido, una medida "indirecta" de una cuadratura. Incluso si soy relativamente nuevo, intentaré responder.

En primer lugar, creo que debería invertir su idea sobre la medición cuántica. Supongamos que tenemos un sistema cuántico en el estado$|\psi\rangle$. Podemos interpretar el valor medio (estadístico) de un observable$A$, es decir,$<A>=\langle\psi|A|\psi\rangle$como el valor medio de los resultados de una medición de$A$en un conjunto de estados preparados independientemente$|\psi\rangle$. En otros términos, debe pensar en$<A>$como parámetro estadístico . Su visión es una interpretación operativa de$<A>$, que es una cantidad matemática.

Recapitulemos ahora el principio de detección homodino que se compone de un divisor de haz (con coeficientes de transmisión y reflexión$t$y$r$) y dos detectores de fotones. Supongamos ahora un homodino simple no balanceado. El estado en los puertos de entrada viene dado por:$|\phi\rangle=|\psi\rangle_1|\alpha_0\rangle_2$donde el estado en el segundo puerto es un estado coherente generado por un fuerte rayo láser. En la imagen de Heisenberg, el operador numérico en el primer puerto de salida viene dado por:

$${n_1}'=|t|^2{n_1}+|r|^2{n_2}+t^*ra_1^{\dagger}a_2+r^*ta_2^{\dagger}a_1$$ dónde$n_1,n_2,a_1,a_2$son los operadores numéricos y los operadores de aniquilación de, respectivamente, el primer "puerto" y el segundo "puerto". Deberías saber este resultado. Ahora, dado el estado conjunto$|\phi\rangle$, puedes calcular$<n_1'>$, y usando la suposición de un rayo láser fuerte (es decir,$|\alpha_0|^2\gg\langle\psi|n_1|\psi\rangle)$, descubres que: $$<n_1'>=\langle\phi|n_1'|\phi\rangle = |r|^2|\alpha_0|^2 + \kappa\langle\psi|q_1|\psi\rangle$$ dónde$\kappa$es algo constante y$q_1$es la cuadratura de posición del estado en el primer puerto de la BS (más precisamente, es una rotación de esa cuadratura, pero esto no importa ahora). Si ahora usa un fotodiodo, la corriente de salida$i_D\propto<n_1'>.$Ahora, tienes razón al decir que no estamos midiendo$q_1$. De hecho, el efectivo$<q>$está incrustado en la variación de$<n_1'>$. Sin embargo, debe interpretar esto en una vista estadística. El resultado que hemos encontrado podría reformularse de la siguiente manera

El valor medio de una medición homodina (simple), realizada en un conjunto de estados preparados de forma independiente$|\psi\rangle$, es dado por$<n_1'>$.

Para concluir, podemos sintetizar de la siguiente manera.$n_1'$es un observable y sus vectores propios son vectores de Fock. El divisor de haz actúa sobre el estado de entrada para producir un estado de salida cuyas probabilidades (en la base de Fock) son algo 'proporcionales' a los valores de cuadratura del estado de entrada. Más precisamente, su valor medio es exactamente proporcional al valor medio de la cuadratura$a$. Esto no es de ninguna manera intuitivo, pero es cierto, ya que se ha demostrado matemáticamente (la visión de "Cállate y calcula" de QM).