Matriz de covarianza después de la proyección sobre el estado gaussiano

No puedo entender la prueba en el artículo de Eisert ( https://arxiv.org/abs/quant-ph/0204052 ) sobre cómo encontrar la matriz de covarianza de un estado después de proyectar algunos de sus modos en un estado gaussiano.

Tenemos la función característica de los modos restantes (no proyectados) siendo

x ( ξ A ) = 1 π 2 ∫ d ξ 5 … d ξ 8 mi − ξ T Γ ′ ξ / 2 mi − ξ B T γ ξ B
dónde ξ = ( ξ A , ξ B ) , las etiquetas A y B refiriéndose respectivamente al subsistema que ''permanece'' y al subsistema que se proyecta a un estado gaussiano con matriz de covarianza γ = d i a gramo ( 1 / d , d , 1 / d , d ) y donde
Γ ′ = ( C 1 C 3 C 3 T C 2 )
Luego afirma que la matriz de covarianza resultante, después de realizar la integración, es
METRO d = C 1 − C 3 ( C 2 + γ 2 ) − 1 C 3 T
pero no tengo idea de cómo logra llevar a cabo la integración, ya que el término ξ Γ ′ ξ tiene términos mixtos en su lectura ξ B T C T ξ A y ξ A T C ξ B y no sé cómo tratarlos.

¿Alguna pista?

¿No se pueden simplemente completar los cuadrados de las variables A y B respectivamente?
Estoy mirando el mismo artículo y estoy confundido con la notación. En Γ ′ , a mi me parece C 1 corresponde a los modos A 1 y B 1 mencionado en el artículo. ¿Es eso correcto? Es decir, en su notación presentada aquí, C 1 ¿Está asociado con los modos restantes (que en realidad están entre las dos partes mencionadas en el artículo)? Esto parece extraño, ya que antes la base de todas las expresiones parece haberse fijado en ( A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ) mientras Γ ′ parece estar escrito en la base ( A 1 , B 1 , A 2 , B 2 ) .

Respuestas (1)

Como sugiere @flippiefanus, se trata de completar el cuadrado. (O, alternativamente, es una fórmula bien conocida para la integración gaussiana, pero esto suena un poco a trampa)

Si no me equivoco, cometió un error tipográfico en su primera ecuación, que es la ecuación (8) en el artículo de Eisert, Scheel, Plenio. deberías reemplazar γ por γ 2 2 . tenemos entonces

x ( ξ A ) = 1 π 2 ∫ d ξ B Exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A − 1 2 ξ B T C 3 T ξ A − 1 2 ξ A T C 3 ξ B − 1 2 ξ B T ( C 2 + γ 2 ) ξ B ) = Exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A ) π 2 ∫ d ξ B Exp ⁡ ( − 1 2 ξ B T C 3 T ξ A − 1 2 ξ A T C 3 ξ B − 1 2 ξ B T ( C 2 + γ 2 ) ξ B ) .
La idea es expresar el argumento del integrando como − 1 2 ( ξ B + Δ ) T METRO ( ξ B + Δ ) + 1 2 Δ T METRO Δ , el " + Δ " traducción de ξ B siendo irrelevante en la integración. Esta expresión se convierte
− 1 2 ξ B T METRO Δ − 1 2 Δ T METRO ξ B − 1 2 ξ B T METRO ξ B
que, al identificarse con el argumento de la exponencial, conduce a
METRO = C 2 + γ 2 METRO Δ = C 3 T ξ A Δ T = ξ A T C 3 METRO − 1 = ξ A T C 3 ( C 2 + γ 2 ) − 1

tenemos entonces

x ( ξ A ) = Exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A ) π 2 ∫ d ξ B Exp ⁡ ( − 1 2 ( ξ B + Δ ) T METRO ( ξ B + Δ ) + 1 2 Δ T METRO Δ ) = Exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A + 1 2 Δ T METRO Δ ) π 2 ∫ d ξ B Exp ⁡ ( − 1 2 ( ξ B + Δ ) T METRO ( ξ B + Δ ) ) = Exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A + 1 2 Δ T METRO Δ ) π 2 ∫ d ξ B Exp ⁡ ( − 1 2 ξ B T METRO ξ B ) ⏟ escalar independiente de  ξ A ∝ Exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T C 1 ξ A + 1 2 ξ A T C 3 ( C 2 + γ 2 ) − 1 C 3 T ξ A ) = Exp ⁡ ( − 1 2 ξ A T ( C 1 + C 3 ( C 2 + γ 2 ) − 1 C 3 T ) ⏟ METRO d ξ A )

Oye, Frédéric, ¿podrías explicarme dónde está el cuadrado de la γ viene de. En el artículo, dice que el estado proyectado tiene matriz de covarianza γ pero luego en la integración gaussiana de repente γ 2 aparece en el exponente. Esto no tiene sentido para mi.
Matriz de covarianza después de la proyección sobre el estado gaussiano
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v