Después de usar el operador de aniquilación en el estado de vacío, ¿por qué es 000 en lugar de vacío?

Consideremos el caso más simple de un oscilador armónico cuántico, con operadores de creación y aniquilación$a^{\dagger}$y$a$respectivamente. El estado fundamental de nuestro sistema es,$\lvert 0 \rangle$que tiene energía,

$$E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega$$

Cada vez que actúa un operador de creación, el estado$\lvert n \rangle \to \lvert n+1 \rangle$, módulo algunas constantes. De manera similar, los operadores de aniquilación reducen el número entero$n$. Por lo tanto, si aplicamos$a$al estado fundamental, llegamos$n=-1$, que no está permitido,$^{\dagger}$de lo contrario, nuestro hamiltoniano sería ilimitado desde abajo. Entonces el estado debe ser completamente aniquilado, es decir, cero.

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Supongamos que aceptamos su propuesta,

$$a \lvert 0 \rangle = \lvert 0 \rangle$$

Se puede demostrar que tal suposición conduce a una contradicción. Podemos calcular la norma del estado fundamental,

$$\left( \lvert 0 \rangle \right)^{\dagger} \left(\lvert 0 \rangle \right) = \left( a\lvert 0 \rangle \right)^{\dagger} \left(a\lvert 0 \rangle \right) = \langle 0 \lvert a^\dagger a \rvert 0 \rangle$$

Ahora bien, dado que por la suposición$a\lvert 0 \rangle = \lvert 0 \rangle$, podemos hacer el intercambio de nuevo,

$$\langle 0 \lvert a^\dagger a \rvert 0 \rangle = \langle 0 \lvert a^\dagger \rvert 0 \rangle = \langle 0 \lvert 1 \rangle$$

lo cual es una contradicción, a menos que aceptemos$\vert 0 \rangle = \lvert 1 \rangle$, que claramente no es sensato.

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$\dagger$Una de las razones$n=-1$no está permitido es el siguiente: Recuérdese que para el oscilador armónico cuántico, las desviaciones estándar de momento y posición deben obedecer a la relación de incertidumbre,

$$\sigma_x \sigma_p = \hbar\left( n + \frac{1}{2}\right) \geq \frac{\hbar}{2}$$

El valor más bajo$n$puede tomar para obedecer la desigualdad es$n=0$; más bajo y se viola.