¿Descripción lagrangiana del movimiento browniano?

Estoy interesado en la existencia de una descripción de la teoría del campo de Lagrange del movimiento de Bronwn, ¿existe tal cosa? Dada una partícula de cierto espín σ , que tiene un lagrangiano asociado L σ (que, usando las ecuaciones de Euler-Lagrange, produce Klein-Gordon para σ = 0, etc.) ¿hay alguna manera de permitir libertades de tipo browniano en esta descripción? Es de esperar que tal libertad estocástica esté permitida en la descripción lagrangiana.

¡Esta no es una respuesta a tu pregunta! Es posible que desee echar un vistazo a la fórmula de Feynman-Kac.
De lo que ya han dicho otros, tome la función de partición Z = ∫ D X mi S (en QM un " i / ℏ " también entra) donde la acción S = ∫ 0 T d t L y L es el "Lagrangiano", a menudo de la forma X ˙ 2 . Que sea un Lagrangiano es cierto sólo para la aproximación semiclásica, es decir, para la trayectoria que no tiene fluctuaciones. También te puede interesar el cálculo de Malliavin, aunque nunca lo he visto usado en física. Como se supone que es cálculo variacional con cosas estocásticas, ¿podría estar relacionado?
Gracias, @amlrg. He encontrado el cálculo de Malliavin antes en el contexto de enfoques variacionales para PDE con, digamos, L 1 mida los datos del lado derecho. Aunque no lo había pensado en este contexto.

Respuestas (1)

El movimiento browniano X ( t ) no es diferenciable, por lo que una trayectoria particular X ( t ) no se puede extremizar una acción S que sería un funcional de X ( t ) y su derivada, X ˙ ( t ) , porque la derivada ni siquiera está bien definida y cualquier expresión del tipo ∫ [ X ˙ ( t ) ] 2 d t , el término cinético habitual en la acción, diverge. (Ver, por ejemplo, en la mitad de la página 2 de este documento para ver la declaración de que no hay Lagrangiano, también. El documento hace todo lo posible para construir algo que sea "lo más cercano posible" a la formulación Lagrangiana normal).

Sin embargo, cuando menciona la teoría de campos, es interesante señalar que las trayectorias típicas X ( t ) que contribuyen al cálculo integral de la trayectoria de Feynman de la mecánica cuántica ordinaria se parecen mucho a las trayectorias brownianas. Pero la cantidad de movimiento en zigzag está determinada por el principio de incertidumbre y la constante de Planck, no por colisiones ajustables con las moléculas de un líquido, etc. También hay muchas otras diferencias en la interpretación física.

Gracias @Lubos, esperaba que pudiera haber un teorema de tipo Wiener-Khinchin (como Page-Lampard para no estacionario) que pudiera aplicarse al límite ∫ X ˙ ( t ) 2 d t , pero tal vez no! Estaba pensando que uno podría pensar en el vacío cuántico como una especie de fluido (realizando una especie de descomposición de, digamos, Euler-Heisenberg Lagrangian en Maxwell + Magfluid) donde introducimos un campo cuyas excitaciones dan lugar a una especie de Brownian movimiento.
Estos son proyectos de investigación interesantes, creo, no preguntas sobre la ciencia establecida. ;-)
Me doy cuenta de que esto es más de un año después, pero me gustaría agregar un comentario. El movimiento browniano no es diferenciable clásicamente, por lo que el término de energía cinética diverge. Sin embargo, se ha demostrado en varios artículos disponibles que el movimiento de Brownin es diferenciable fraccionariamente, y las derivadas fraccionarias están relacionadas con la dimensión fractal de una curva no rectificable. Puede ser posible calcular una energía cinética finita usando cálculo fraccionario, lo que permitiría un Lagrangiano para el movimiento browniano.
Esa es una propuesta muy interesante.
¿Descripción lagrangiana del movimiento browniano?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v