Descendiendo a cualquier órbita: ¿Cuál requiere menos delta-v, una ancha o una elíptica estrecha?

Hay dos escenarios diferentes que consideraré:

• Entrando en la órbita circular desde gran altura.
• Entrando en la órbita elíptica desde baja altura.

Entrar en la órbita circular desde baja altura siempre consumirá más combustible que entrar en la órbita elíptica, ya que tienes que entrar en una órbita elíptica de transferencia del mismo tamaño (usando el mismo$\Delta v$), y luego haga una quemadura adicional en apoapsis para circularizar su órbita. (Usar aerofrenado para reemplazar la quema inicial cambiará esto).

De manera similar, entrar en la órbita elíptica desde gran altura siempre requerirá más combustible que entrar en la órbita circular, ya que la órbita elíptica tendrá una velocidad más lenta en el apoapsis, lo que requerirá una mayor velocidad.$\Delta v$.

Supondré que el exceso de velocidad hiperbólico ($v_\infty$) a la entrada es el mismo para ambos casos, que todas las intersecciones orbitales son paralelas (sin cambios de plano), y que todas las quemaduras son instantáneas.

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Una órbita circular de radio$r_a$requiere una velocidad de$v_\text{circ}=\sqrt{\mu/r_a}$. Resolviendo para la velocidad de entrada usando la conservación de la energía:

$$\frac{v_\infty^2}{2} = \frac{v_\text{entry}^2}{2} - \frac{\mu}{r_a} \\ v_\text{entry} = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_a}}$$

Él$\Delta v$requerido es simplemente la diferencia entre los dos:

$$\Delta v_\text{circ} = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_a}}-\sqrt{\frac\mu{r_a}}$$

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En el segundo escenario, tenemos una velocidad periáptica de:

$$v_p = \sqrt{\frac{2\mu}{r_a+r_p}\frac{r_a}{r_p}}$$

La velocidad de entrada es casi la misma, con$r_p$en lugar de$r_a$, dándonos:

$$\Delta v_\text{ellip} = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_p}}-\sqrt{\frac{2\mu}{r_a+r_p}\frac{r_a}{r_p}}$$

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Ahora, busquemos bajo qué condiciones$\Delta v_\text{ellip} < \Delta v_\text{circ}$:

$$\Delta v_\text{ellip} < \Delta v_\text{circ} \\ \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_p}}-\sqrt{\frac{2\mu}{r_a+r_p}\frac{r_a}{r_p}} < \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_a}}-\sqrt{\frac\mu{r_a}}$$

haré las sustituciones$v_\infty^2\to \alpha\mu/r_a$y$r_p\to\beta r_a$para ayudarnos un poco.

$$\sqrt{\frac{\alpha\mu}{r_a} + \frac{2\mu}{\beta r_a}}-\sqrt{\frac{2\mu}{r_a+\beta r_a}\frac{r_a}{\beta r_a}} < \sqrt{\frac{\alpha\mu}{r_a} + \frac{2\mu}{r_a}}-\sqrt{\frac\mu{r_a}}$$

Ahora saquemos un factor de$\sqrt{\mu/r_a}$(que es positivo, por lo que no afecta la desigualdad):

$$\sqrt{\alpha + \frac{2}{\beta}}-\sqrt{\frac{2}{\beta\left(1+\beta\right)}} < \sqrt{\alpha + 2}-1$$

Tratar el lado izquierdo como una función de$\beta$:

$$f(\beta) = \sqrt{\alpha + \frac{2}{\beta}}-\sqrt{\frac{2}{\beta\left(1+\beta\right)}}$$

Tenemos:

$$f(1) = \sqrt{\alpha + 2} - \sqrt{\frac{2}{1\cdot 2}} = \sqrt{\alpha + 2} - 1$$

Sustituyendo en nuestra desigualdad, ahora solo debemos probar:

$$f(\beta) < f(1)$$

Tenga en cuenta que desde$0<r_p<r_a$, lo sabemos$\beta\in(0,1)$. Mirando la derivada de$f$:

$$f'(\beta) = -\frac{1}{\beta^2\sqrt{\alpha+2/\beta}}+\frac{\beta+(1+\beta)}{\beta^2(1+\beta)^2}\sqrt{\frac{\beta(1+\beta)}{2}}$$

podemos comprobar que$f'(\beta)>0$:

$$\frac{1}{\beta^2\sqrt{\alpha+2/\beta}} < \frac{\beta+(1+\beta)}{\beta^2(1+\beta)^2}\sqrt{\frac{\beta(1+\beta)}{2}}$$

Como ambos lados son positivos, podemos elevar al cuadrado ambos lados sin afectar la desigualdad:

$$\frac{1}{\beta^4(\alpha+2/\beta)} < \frac{\left(\beta+(1+\beta)\right)^2\beta(1+\beta)}{2\beta^4(1+\beta)^4} \\ \frac{1}{(\alpha+2/\beta)} < \frac{(1+2\beta)^2\beta}{2(1+\beta)^3} \\ 2(1+\beta)^3 < (\alpha\beta+2)(1+2\beta)^2 \\ 2\beta^3+6\beta^2+6\beta+2 < 4\alpha\beta^3 + (4\alpha+8)\beta^2 + (\alpha+8)\beta + 2 \\ 0 < (4\alpha-2)\beta^3 + (4\alpha+2)\beta^2 + (\alpha+2)\beta \\ 0 < 4\alpha\beta^2(1+\beta) + 2\beta^2(1-\beta) + (\alpha+2)\beta$$

Los tres términos son positivos cuando$\alpha>0$y$\beta\in(0,1)$, asi que$f'(\beta)$siempre es positivo. Esto significa que su máximo debe ocurrir en el extremo derecho,$f(1)$, así que eso$f(\beta)<f(1)$para todos los valores considerados.

Así, la órbita elíptica es siempre más eficiente .

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La mayor diferencia entre las dos órbitas es cuando$\alpha=2$(es decir,$v_\infty=v_\text{esc}$en apoapsis), donde tenemos:

$$\frac{\Delta v_\text{circ}}{\Delta v_\text{ellip}} = \frac 1{\sqrt{2}}\sqrt{1+\frac 1\beta}$$

Bueno, pensemos en esto lógicamente. Digamos que estás sentado en una nave espacial en la nube, orbitando alrededor del sol a un ritmo muy pausado de unos 3 m/s, que es equivalente a la velocidad de trotar. No se necesita mucho delta-v para detenerse en seco y caer directamente hacia el sol. Con una caída tan larga, un ligero ajuste nos permitirá elegir qué planeta queremos interceptar.

Ahora estamos entrando desde el exterior, rápido.

Claramente, es MUCHO más fácil entrar en una órbita elíptica estrecha. Para entrar en una órbita circular tendrías que esperar hasta que estés a esa distancia orbital del planeta objetivo, y luego disparar tus cohetes para superar toda la velocidad ganada al caer de la nube de origen.

Apuntando más cerca del planeta (MUCHO más cerca), podemos frenar en la atmósfera del planeta y perder mucha velocidad de esa manera. En realidad, no estamos en una órbita estable, o volaremos de nuevo al espacio (si aún viajamos a la velocidad de escape en relación con el planeta), o nos estrellaremos posteriormente contra el planeta sin una quemadura de corrección (pero siempre podemos hacer una quemadura de corrección).

Sé que el efecto Oberth no es exactamente intuitivo, pero piénselo de esta manera y estoy seguro de que tendrá sentido; cuando nos acercamos rápido, el planeta no tiene mucho tiempo para tirar de nosotros, por lo que no puede aumentar mucho nuestra velocidad. Así que nos acercamos muy rápido y no ganamos mucha velocidad. Cuando estamos cerca del planeta, encendemos nuestros propulsores para reducir la velocidad tanto como podamos. Ahora dejamos la influencia del planeta más lentamente de lo que entramos, y la gravedad del planeta tiene más tiempo para frenarnos, por lo que perdemos más velocidad saliendo del planeta que la que ganamos acercándonos al planeta.

Ahora bien, si mientras aún estábamos bastante lejos del planeta, hubiéramos disparado nuestros propulsores, entonces debido a que hemos ralentizado nuestro acercamiento, la gravedad del planeta tiene más tiempo para atraernos y aumentar nuestra velocidad. A medida que dejamos la influencia del planeta, el planeta tiene exactamente la misma cantidad de tiempo para disminuir nuestra velocidad.

El efecto de Oberth se trata esencialmente de minimizar o maximizar la cantidad de tiempo que el planeta "jala" con fuerza. Esto se debe a que, de acuerdo con el cálculo newtoniano básico, la velocidad es la aceleración por el tiempo, cuanto más tiempo estamos siendo acelerados, más velocidad ganamos. Cuanto menos tiempo estamos siendo acelerados, menos velocidad ganamos. Los cohetes queman su combustible lo más cerca posible de la Tierra, por lo que minimizan el tiempo en la gravedad más fuerte más cercana a la Tierra. La gravedad NO es como el arrastre, no tira de ti más cuanto más rápido viajas; tira de ti la misma cantidad (a una distancia dada) sin importar cuán rápido estés viajando. Es por eso que funciona el efecto Oberth, y también por qué puede no ser intuitivo, porque a menudo pensamos en la gravedad como un "arrastre" en los cohetes, pero es