Desajuste entre soluciones subamortiguadas y críticamente amortiguadas

Si tiene un oscilador armónico con amortiguación$D$(por ejemplo, péndulo de ángulo pequeño)

$$\ddot{\theta}+D\dot{\theta} + \theta=0$$

entonces la solución que obtengo en el caso subamortiguado ($D^2-4<0$) es:

$$\theta=\theta_0e^{-\gamma t}\cos{(\omega t)}$$ dónde $\gamma=\frac{D}{2}$y $\omega=\frac{1}{2}\sqrt{4-D^2}$, y $\theta_0$es el desplazamiento angular inicial. Hemos asumido la velocidad angular inicial $\dot{\theta}$es cero

La solución que obtengo para el caso críticamente amortiguado ($D^2-4=0$) es:

$$\theta=\theta_0(1+t)e^{-\gamma t}$$

Bien. Excepto que no coinciden. Cuando$D^2-4=0$, el caso subamortiguado se convierte en$\theta=\theta_0e^{-\gamma t}$que no es lo mismo que el caso críticamente amortiguado.

Además, si el péndulo está casi críticamente amortiguado, la ecuación subamortiguada no parece ser precisa, como lo muestra esta simulación (usando Runge-Kutta de cuarto orden):

Si el amortiguamiento es menor, la ecuación subamortiguada está más cerca de la simulación, pero no del todo:

Y si no hay amortiguamiento, la onda coseno resultante es exactamente igual a la simulación.

Entonces, ¿significa esto que la solución analítica para un péndulo subamortiguado es en realidad una aproximación solo válida para amortiguamiento pequeño, o he hecho algo mal?