Desaceleración crítica en simulaciones Monte Carlo (MC)

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Desaceleración crítica en simulaciones Monte Carlo (MC)

Física
simulaciones
transición de fase
física computacional
mecánica estadística

StarBucK

Esto es lo que entendí de la desaceleración crítica.

Cuando estamos cerca de una transición de fase, el tiempo de autocorrelación $\tau$ es muy largo.

Imagine que estamos haciendo simulaciones de MC en un ferromagnético cercano $T_c$ dónde $T_c$ es la temperatura de transición de fase. Estamos estudiando lo observable. $M$ que es la magnetización total. El hecho de que $\tau$ es largo físicamente significa que si estoy en un microestado con magnetización lejos de la magnetización promedio, tomará mucho tiempo (muchos pasos) para que la simulación acceda a microestados que tienen magnetización cercana a la magnetización promedio.

Y, como los microestados que tienen una magnetización cercana a la magnetización media tienen una importancia estadística mayor en el cálculo, significa que tendremos estadísticas muy malas si no muestreamos durante el tiempo suficiente.

Mis preguntas:

¿Tengo razón en esta explicación?
Por que es $\tau$ muy largo cerca de una transición de fase? No estoy seguro de conseguirlo.
¿Por qué los algoritmos de clúster son mejores para tratar tales problemas? Esta pregunta se ha planteado aquí Desaceleración crítica en el algoritmo Monte-Carlo para el modelo de Ising 2D clásico , pero en realidad no ha sido respondida.

Respuestas (1)

Desaceleración crítica en simulaciones Monte Carlo (MC)

Tomás · Answer 1

1) Cerca de una transición de fase de segundo orden, la longitud de la correlación es muy grande y hay fluctuaciones en todas las escalas. Esto significa que un algoritmo local tendrá dificultades para muestrear el espacio de configuraciones relevantes de manera eficiente. La magnetización media en realidad puede ser más o menos correcta, pero los observables más complicados (momentos más altos de M, funciones de correlación, etc.) son difíciles de calcular.

2) Considere la teoría de Landau de las transiciones de fase. El funcional de energía libre es

F = \int d X [k (\nabla METRO)^{2} + a {METRO}^{2} + b {METRO}^{4} + \dots]

$F = \int dx \left[ \kappa(\nabla M)^2 + a M^2 + b M^4 + \ldots \right]$ y la longitud de la correlación (en la fase desordenada) es

ξ \sim 1 / \sqrt{a}

$\xi \sim 1/\sqrt{a}$ . En la transición de fase

a \to 0

$a\to 0$ y

ξ \to \infty

$\xi\to\infty$ . Las fluctuaciones modifican la escala del campo medio simple, y

ξ \sim 1 / t^{ν}

$\xi\sim 1/t^\nu$ dónde

t

$t$ es la temperatura reducida y

ν

$\nu$ es un exponente crítico.

3) Para estudiar el tiempo de relajación tenemos que hacer que la teoría de Landau sea dependiente del tiempo. Esto conduce a una teoría hidrodinámica conocida como modelo A. La ecuación de movimiento es

\partial_{t} METRO = - D \frac{d F}{d METRO}

$\partial_t M = -D \frac{\delta F}{\delta M}$ que tiene modos propios de la forma

ω_{k} = i D (k^{2} + a)

$\omega_k=iD(k^2+a)$ . Por lo general, el tiempo de relajación es finito, pero cerca del punto crítico

a \to 0

$a\to 0$ y

ω_{k} \sim i k^{2}

$\omega_k\sim ik^2$ , por lo que los modos con número de onda

k \sim 1 / ξ

$k\sim 1/\xi$ relajarse durante un tiempo

τ \sim ξ^{2}

$\tau \sim \xi^2$ . Nuevamente, este es un campo medio y un análisis más sofisticado da

τ \sim ξ^{z}

$\tau \sim \xi^z$ con un exponente crítico z.

4) Los algoritmos de clúster realizan actualizaciones en todas las escalas y capturan la física en 2), 3) mejor.

Desaceleración crítica en simulaciones Monte Carlo (MC)

StarBucK

Respuestas (1)

Tomás

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