Derivado de matriz de transformación para dinámica 6DoF

Question

Derivado de matriz de transformación para dinámica 6DoF

Física
cinemática
velocidad angular
dinámica-rotacional
cinemática-rotacional

Toms42

Estoy implementando un planificador para un robot submarino 6DOF y estoy usando la dinámica derivada en el capítulo 7.5 del Handbook of Marine Craft de Fossen. Estoy usando las ecuaciones de movimiento expresadas en NED usando posiciones y ángulos de Euler para usar el control de planitud diferencial. Véase la ecuación 7.190.

Parte de esto es la transformación de velocidades (lineales y angulares: [x_dot, y_dot, z_dot, p, q, r]) entre el marco del mundo (NED) y el marco del cuerpo del robot. Esto se describe en la ecuación 7.191 utilizando la matriz $J$ , que transforma las velocidades lineales y angulares entre el marco del mundo fijo y el marco del cuerpo:

j_{Θ} (η) = [\begin{matrix} R_{b}^{norte} (Θ_{norte b}) & 0_{3 \times 3} \\ 0_{3 \times 3} & T_{Θ} (Θ_{norte b}) \end{matrix}]

$J_\Theta(\eta) = \begin{bmatrix}R_b^n(\Theta_{nb}) & 0_{3\times3}\\ 0_{3\times3} & T_\Theta(\Theta_{nb})\end{bmatrix}$ dónde:

\dot{η} = j_{Θ} (η) v

$\dot\eta = J_\Theta(\eta)v$

T_{Θ} (Θ_{norte b}) = [\begin{matrix} 1 & pecado ϕ broncearse θ & porque ϕ broncearse θ \\ 0 & porque ϕ & - pecado ϕ \\ 0 & pecado ϕ / porque θ & porque ϕ / porque θ \end{matrix}]

$T_\Theta(\Theta_{nb}) = \begin{bmatrix}1 & \sin\phi \tan\theta & \cos\phi \tan\theta\\0 & \cos\phi & -\sin\phi\\ 0 & \sin\phi / \cos\theta & \cos\phi / \cos\theta\end{bmatrix}$

η

$\eta$ es la posición/orientación en el marco del mundo fijo:

[x, y, z, ϕ, θ, ψ]

$[x,y,z,\phi,\theta,\psi]$

$\dot\eta$ son las velocidades en el marco mundial: $[\dot x, \dot y, \dot z, p, q, r]$

$v$ son las velocidades en la estructura del cuerpo.

Mi problema es que para encontrar la aceleración en el marco del mundo, necesito saber $\dot J$ , que parece que no puedo encontrar una definición en el libro de texto de Fossen. Véase la ecuación 7.192: $C^*$ y $\ddot\eta$ ambos dependen de $\dot J$ . Soy consciente de la derivada temporal de la matriz de rotación. $R$ usando la matriz simétrica sesgada, pero no estoy seguro de cómo encontrar la derivada del todo $J$ matriz. ¿Alguien sabe qué debo hacer o dónde buscar más información?

Ejemplo de uso de $\dot J$ :

\ddot{η} = j_{Θ} (η) \dot{v} + {\dot{j}}_{Θ} (η) v

$\ddot \eta = J_\Theta(\eta)\dot v + \dot J_\Theta(\eta) v$

eli

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Respuestas (2)

Derivado de matriz de transformación para dinámica 6DoF

STRESSENERGYTensoR12 · Answer 1

En el ejemplo, creo que J podría resolverse usando un enfoque de ecuación diferencial lineal. ¿Quizás un método iterativo como el de Euler o el de Runge-Kuta?

Esto, por supuesto, supone que v y su derivada temporal no dependen de n(eta) [perdón por formatear, estoy en el móvil].

Una vez que se haya resuelto J, me imagino que las condiciones de contorno correctas lo llevarán a una respuesta útil.

Vale la pena intentarlo al menos.

eli · Answer 2

empiezas con:

\begin{matrix} (1) & \vec{R} = \vec{F} (\vec{q}) \end{matrix}

$\vec{R}=\vec{f}(\vec{q})\tag 1$

dónde $\vec{q}$ son las coordenadas generalizadas

derivada del tiempo:

\vec{\dot{R}} = \frac{d}{d t} (\vec{F} (\vec{q})) = \frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{q}} \vec{\dot{q}} = j \vec{\dot{q}}

$\vec{\dot{R}}=\frac{d}{dt}\left(\vec{f}(\vec{q})\right)=\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{q}}\,\vec{\dot{q}}=J\,\vec{\dot{q}}$

de este modo

\vec{\dot{R}} = \vec{\dot{R}} (\vec{q}, \vec{\dot{q}}) = \vec{gramo} (\vec{q}, \vec{\dot{q}})

$\vec{\dot{R}}=\vec{\dot{R}}(\vec{q},\vec{\dot{q}})=\vec{g}(\vec{q},\vec{\dot{q}})$

\begin{matrix} (2) & \vec{\ddot{R}} = \underset{j}{\underset{⏟}{\frac{\partial \vec{gramo}}{\partial \vec{\dot{q}}}}} \vec{\ddot{q}} + \frac{\partial \vec{gramo}}{\partial \vec{q}} \vec{\dot{q}} = j \vec{\ddot{q}} + \underset{\dot{j}}{\underset{⏟}{\frac{\partial j \vec{\dot{q}}}{\partial \vec{q}}}} \vec{\dot{q}} \end{matrix}

$\vec{\ddot{R}}=\underbrace{\frac{\partial \vec{g}}{\partial \vec{\dot q}}}_{J}\vec{\ddot{q}}+ \frac{\partial \vec{g}}{\partial \vec{ q}}\vec{\dot{q}}= J\,\vec{\ddot{q}}+\underbrace{\frac{\partial {J\,\vec{\dot{q}}}}{\partial \vec{ q}}}_{\dot{J}}\vec{\dot{q}}\tag 2$

Observaciones: las ecuaciones de movimiento

Ecuaciones de NEWTON:

METRO \vec{\ddot{R}} = {\vec{F}}_{A}

$M\,\vec{\ddot{R}}=\vec{F}_A$

con ecuación (2)

\begin{matrix} (A) & METRO (j \vec{\ddot{q}} + \dot{j} \vec{\dot{q}}) = {\vec{F}}_{A} + {\vec{F}}_{C} \end{matrix}

$M\left(J\vec{\ddot{q}}+\dot{J}\,\vec{\dot{q}}\right)=\vec{F}_A+\vec{F}_C\tag A$

dónde $\vec{F}_A$ son las fuerzas aplicadas y $\vec{F}_C$ son las fuerzas de restricción.

para eliminar las fuerzas de restricción, multiplique la ecuación (A) desde la izquierda con $J^T$

j^{T} METRO j \vec{\ddot{q}} = j^{T} {\vec{F}}_{A} - j^{T} METRO \dot{j} \vec{\dot{q}}

$\boxed{J^T\,M\,J\vec{\ddot{q}}=J^T\,\vec{F}_A-J^T\,M\,\dot{J}\,\vec{\dot{q}}}$

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Toms42

eli

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STRESSENERGYTensoR12

eli

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