¿Cómo se define correctamente la derivada de una función con valor de operador?

Puede haber algunos problemas para definir correctamente la derivada para operadores ilimitados arbitrarios . Esto se debe a que, hasta donde yo sé, no existe una definición adecuada de topología en el conjunto de operadores ilimitados.

Si restringimos a los operadores cerrados (como los operadores autoadjuntos) que actúan en un espacio de Hilbert$H$, entonces es posible definir una métrica. El conjunto de operadores cerrados se convierte entonces en un espacio métrico (no completo)$\mathcal{C}(H)$. Antes de discutir (brevemente) qué es la métrica, permítanme comentar que$\mathcal{C}(H)$ no es un espacio lineal, porque en general no es posible sumar dos operadores cerrados ilimitados. La distancia entre operadores cerrados$T$y$S$se define, en términos generales, como la brecha entre los gráficos$G(T)$y$G(S)$. La gráfica de un operador es una variedad lineal cerrada en$H\times H$definido por

$$G(T)=\{(\varphi,\psi) \in H\times H \;, \; \varphi\in D(T)\; , \; \psi=T\varphi \}\; .$$ Para todos los detalles de la definición, véase, por ejemplo, el libro de Kato de 1966 sobre la teoría de la perturbación de los operadores lineales.

En$\mathcal{C}(H)$, tenemos así una noción de convergencia$T_n\to T$. La convergencia en este sentido (llamada por Kato "sentido generalizado") extiende aproximadamente hablando la convergencia en norma de operadores acotados. Si el conjunto resolvente$\varrho(T)$de$T$no está vacío, la convergencia generalizada es equivalente a la convergencia en el sentido de la norma resolvente , es decir, es equivalente a la convergencia en la norma de los resolventes (como operadores acotados):

$$T_n\to_\mathrm{gen} T \Leftrightarrow (T_n-z)^{-1}\to_{\mathrm{norm}} (T-z)^{-1}\; ,\; \forall z\in \varrho(T)\; .$$ Más precisamente, existe un $n^*\in \mathbb{N}$tal que $z\in \varrho(T_n)$para cualquier $n\geq n^*$, y se mantiene la convergencia de los resolventes. Por supuesto, la convergencia en el sentido generalizado es equivalente a la convergencia en norma si los operadores están acotados.

Sin embargo, todavía hay un problema para definir la derivada, ya que, como comenté antes, en general no es posible sumar dos operadores cerrados y obtener otros operadores cerrados. Es posible dar condiciones abstractas sobre (densamente definidas)$T$y$S$para que definan densamente un operador cerrado$T+S$, consulte este documento . Sin embargo, como puede notar, las cosas se están volviendo cada vez más complicadas. De todos modos, deja$T_0\in \mathcal{C}(H)$ser un operador cerrado fijo densamente definido. Denotamos por$\mathcal{C}_{T_0}(H)$el conjunto

$$\mathcal{C}_{T_0}(H)=\{T\in \mathcal{C}(H), T-T_0\in \mathcal{C}(H)\}\; .$$ Observar que $\mathcal{C}_{T_0}(H)$también puede estar vacío. Sin embargo, deja ahora $\alpha:\mathbb{R}\to \mathcal{C}_{T_0}(H)$para algunos $T_0$, y $\alpha(x)=T_0$. Entonces la derivada $\alpha'(x)$se puede definir de la forma habitual ya que $h^{-1}\Bigl(\alpha(x+h)-\alpha(x)\Bigr)$es un operador cerrado: $$\alpha'(x)=\lim_{h\to 0}h^{-1}\Bigl(\alpha(x+h)-\alpha(x)\Bigr)\; ;$$ donde el límite se entiende en el sentido generalizado (siempre que exista). Sin embargo, todavía no estamos seguros de que la derivada tenga sentido en otro punto $x'\neq x$, si $\alpha(x')\neq T_0$!

De hecho, en realidad nunca vi esta construcción aplicada en ningún problema físico o matemático concreto, y tal vez nunca se use.

Como comentario final, la derivada de funciones con valores en los operadores lineales continuos (acotados) se usa con mucha frecuencia. En este caso, la derivada puede estar prevista en cualquier topología de los operadores acotados, como por ejemplo, la topología norma (que sería equivalente a la construcción anterior y al OP ya señalado); pero también en la topología fuerte, o en la débil . De hecho, los derivados a veces pueden existir en sentido fuerte o débil, pero no en el sentido normal.