Derivada covariante en QCD: ¿Cómo actúa sobre los gluones?

Sea la derivada covariante

$$D_\mu = \partial_\mu + \text ig\ A_\mu^a t^a,\quad a=1,\ldots,8$$ dónde$g$es el acoplamiento QCD desnudo,$A_\mu^a$son los ocho campos de gluones y$t^a=\tfrac{1}{2}\lambda^a$son los generadores de$SU(3)$. Estoy tratando de averiguar cómo la derivada covariante actúa de manera diferente en quarks y gluones.

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Para los quarks , los generadores actuarán en su representación fundamental, como$3\times 3$matrices proporcionales a las matrices de Gell-Mann que actúan sobre un quark con tres componentes de color$i$:

$$\begin{align}D_{\mu,ij} q_j &= \partial_\mu \delta_{ij} q_j + \text ig\ A_\mu^a (t^a)_{ij}\ q_j \\&=\partial_\mu q_i + \text ig\ A_\mu^a (t^a)_{ij}\ q_j \end{align}$$

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Para los gluones , los generadores deberían actuar a través de su representación adjunta, ya que los gluones mismos son parte del álgebra (se construyen mediante la$t^a$). La representación adjunta está dada por el$SU(3)$constantes de estructura,$(t^a)_{bc} = -\text i\ f_{abc}$. un generador$t^a$en la representación adjunta actúa sobre otro elemento del álgebra de Lie$t^b$como$[t^a,t^b]$.

$$\begin{align}D_{\mu,ab}\ A_\nu &= D_{\mu,ab}\ A_\nu^c t^c\\&= \partial_\mu \delta_{ab} A_\nu^c t^c + \text ig\ A_\mu^dA_\nu^c\ [t^d,t^c]_{ab}\quad ?\end{align}$$

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Pero luego, si quiero calcular el tensor de intensidad de campo de gluones , no obtengo el resultado correcto:

$$\begin{align} \frac{1}{\text ig}[D_\mu,D_\nu]X &= \frac{1}{\text ig}(\partial_\mu + \text ig A_\mu)(\partial_\nu+\text ig A_\nu)X-[\mu\leftrightarrow\nu]\\ &= \frac{1}{\text ig}\partial_\mu \partial_\nu X+\partial_\mu(A_\nu X)+ A_\mu \partial_\nu X+ \text ig A_\mu (A_\nu X)-[\mu\leftrightarrow\nu]\\ &= \frac{1}{\text ig}\partial_\mu\partial_\nu X + \partial_\mu A_\nu X + A_\nu \partial_\mu X+A_\mu \partial_\nu X\color{red}{+\text ig X [A_\mu,A_\nu]}+\text ig A_\mu A_\nu X\\ &\quad -\frac{1}{\text ig}\partial_\nu\partial_\mu X - \partial_\nu A_\mu X - A_\mu \partial_\nu X-A_\nu \partial_\mu X\color{red}{-\text ig X [A_\nu,A_\mu]}-\text ig A_\nu A_\mu X\\ &= (\partial_\mu A_\nu)X-(\partial_\nu A_\mu)X+\color{red}3\text ig [A_\mu,A_\nu]X \end{align}$$

El factor 3 debe ser 1.Los términos en rojo no deberían estar allí (en caso de que alguien encuentre esta pregunta), ¡gracias a @Toffomat!

¿Cómo actúa la derivada covariante en un campo de gluones?$A_\mu = A_\mu^a\ t^a$? ¿Dónde está el error en mis cálculos?