Derivación de las ecuaciones de Newton-Euler

Depende de si ya tienes definido el tensor del momento de inercia de la masa o no.

Si sabes que la inercia del cuerpo es$I_{body}$y la matriz de rotación de 3x3 es$E$entonces el vector de momento angular en el centro de gravedad C es

$$\vec{H}_C = \left( E I_{body} E^\top \right) \vec{\omega}$$

y el vector de momento lineal es

$$\vec{L} = m \vec{v}_C$$

El momento de masa del tensor de inercia a lo largo de las coordenadas universales en el centro de gravedad es$I_C = E I_{body} E^\top$que transforma la velocidad de rotación$\vec \omega$en coordenadas locales, se multiplica por$I_{body}$y transforma la espalda en coordenadas mundiales.

Ahora las ecuaciones de movimiento en el centro de gravedad se definen a partir de la suma de fuerzas y momentos igual a la tasa de cambio del momento

$$\sum \vec{F} = \dot{\vec{L}}$$ $$\sum \vec{M}_C = \dot{\vec{H}}_C$$

o

$$\sum \vec{F} = m \vec{a}_C$$ $$\sum \vec{M}_C = I_C \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times I_C \vec{\omega}$$

ya que la derivada temporal del momento angular en un marco giratorio es$\dot{\vec{H}_C} = \frac{\partial \vec{H}_C}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{H}_C$

Tenga en cuenta que$\dot{\vec{v}} = \vec{a}$y$\dot{\vec{\omega}} = \vec{\alpha}$.

Ahora, para describir las ecuaciones en un marco A , no en C , use las siguientes transformaciones (con la posición relativa del cg$\vec{c} =\vec{r}_C - \vec{r}_A$.

$$\vec{a}_C = \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times \vec{c} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{c})$$

$$\sum \vec{M}_C = \sum \vec{M}_A - \vec{c} \times \sum \vec{F}$$

Entonces, finalmente, las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido, como lo describe un marco A que no está en el centro de gravedad C es (bastante desordenado)

$$\boxed{ \begin{aligned} \sum \vec{F} &= m \vec{a}_A - m \vec{c}\times \vec{\alpha} + m \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{c}) \\ \sum \vec{M}_A &= I_C \vec{\alpha} + m \vec{c} \times \vec{a}_A - m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} +\vec{\omega} \times I_C \vec{\omega} + m \vec{c} \times \left( \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{c}) \right) \end{aligned} }$$

Es por eso que las personas usan la notación espacial (busque la teoría del tornillo ) para compactar lo anterior en

$$\sum \bf{f}_A = I_A \bf{a}_A + \bf{p}$$

$$\begin{pmatrix} \sum \vec{F} \\ \sum \vec{M}_A \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} m & -m \vec{c}\times \\ m \vec{c}\times & I_C - m \vec{c}\times \vec{c}\times \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \vec{a}_A \\ \vec{\alpha} \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \vec{c}\times & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} m \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{c}) \\ \vec{\omega}\times I_C \vec{\omega} \end{pmatrix}$$

Fíjate en lo anterior$0$y$1$son matrices de 3x3 y$\vec{c}\times$es el operador de producto cruzado 3x3 definido por

$$\vec{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} }\times = \begin{vmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{vmatrix}$$

Ahora, la gran matriz de 6x6 que multiplica el término de aceleración es la inercia espacial en A. Más aquí y aquí .