Derivación de la transformación general de Lorentz

Para aplicar la transformación de Lorentz a algún vector$\vec v$, teniendo un$L_x$matriz, pero haciéndolo a lo largo de otro eje$\vec q$, puede cambiar temporalmente las coordenadas para que el vector sea paralelo a$\vec e_x$:

$$\vec v'=U\vec v.$$

Ahora su resultado intermedio sería

$$L_x\vec v'=L_x U\vec v.$$

Pero todavía está en la base temporal. Ahora volvamos a la base original. Como$U$es ortogonal, su inversa es igual a su transpuesta, entonces obtenemos:

$$L_q\vec v=U^TL_xU\vec v.$$

De este modo,

$$L_q=U^TL_xU.$$

Entonces, las respuestas son:

1. La primera transformación convierte el vector en una base temporal para que el eje de rotación de Lorentz coincida con el eje de rotación que necesita, la segunda vuelve a la base original.
2. El inverso de una matriz ortogonal es igual a su transpuesta, por lo que es más fácil usar una transposición de transformación para volver a la base original.

Una comprensión del álgebra de Clifford de rotaciones / impulsos en el espacio de Minkowski puede ayudar aquí.

Dejar$\gamma_0 \gamma_0 = -1$y$\gamma_i \gamma_i = +1$(sin suma) para$i=1, 2$o$3$. Es posible que reconozca esta notación para las matrices gamma de la mecánica cuántica, pero el álgebra de Clifford para el espacio-tiempo de Minkowski no depende de que escribamos estas matrices explícitamente; sus propiedades algebraicas son lo suficientemente buenas. Por esta razón, no las llamaré matrices sino vectores base .

un producto de la forma$\gamma_i \gamma_j$para$i,j \in \{1, 2, 3\}$forma un bivector espacial . Los exponenciales de bivectores espaciales y sus combinaciones lineales forman el álgebra de cuaterniones. Considere, por ejemplo,$\gamma_1 \gamma_2$en exponencial:

$$e^{\gamma_1 \gamma_2 \theta} = 1 + \gamma_1 \gamma_2 \theta+ \frac{\theta^2}{2} \gamma_1 \gamma_2 \gamma_1 \gamma_2 + \ldots$$

Pero los gammas anticonmutan cuando son diferentes:$\gamma_1 \gamma_2 = -\gamma_2 \gamma_1$, por lo que obtenemos

$$e^{\theta \gamma_1 \gamma_2} = 1 + \gamma_1 \gamma_2 \theta - \frac{\theta^2}{2} - \frac{\theta^3}{6} \gamma_1 \gamma_2 + \ldots = \cos \theta + \gamma_1 \gamma_2 \sin \theta$$

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Entonces, lo que esto significa es que podemos escribir la rotación de un vector espacial$a = a^i \gamma_i$usando algún bivector$B = \frac{1}{2} B^{ij} \gamma_i \gamma_j$como sigue. Dejar$q = \exp(-\hat B\theta/2)$, dónde$\hat B = B/\sqrt{|BB|}$. Entonces la rotación toma la forma

$$a' = R(a) = q a q^{-1}$$

(Como ejercicio, puede mostrar que, en esta convención, el cuaternión$i = -\gamma_2 \gamma_3$,$j =-\gamma_3 \gamma_1$y$k = -\gamma_1 \gamma_2$.)

el bivector$B$luego representa el plano de rotación .

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Esta lógica se traslada a los impulsos de Lorentz. Consideremos un bivector de la forma$\gamma_0 \gamma_1$. Crucialmente,

$$(\gamma_0 \gamma_1)^2 = \gamma_0 \gamma_1 \gamma_0 \gamma_1 = - \gamma_0 \gamma_1 \gamma_1 \gamma_0 = - \gamma_0 \gamma_0 = (-1)(-1) = +1$$

(Esto es cierto incluso si elige la convención de signos opuestos). Esto significa que la exponencial toma su forma hiperbólica en lugar de su forma trigonométrica:

$$e^{\gamma_0 \gamma_1 \phi} = \cosh \phi + \gamma_0 \gamma_1 \sinh \phi$$

Entonces, un "cuaternión" para impulsos usa las funciones trigonométricas hiperbólicas, como sabemos que debería. Podemos escribir un impulso en la forma$p a p^{-1}$, tal como lo hicimos con los cuaterniones espaciales. Lorentz impulsa los cuaterniones como$p$solo usa un bivector diferente en el exponencial.

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Pero, ¿cómo los juntamos?

Digamos que quieres impulsar con respecto a algún plano$\gamma_0 v$, dónde$v$es la dirección de la velocidad espacial,$\hat v = q \gamma_1 q^{-1}$(para que sepa cómo se gira con respecto a, digamos, el eje x).

Deberías notar que$\gamma_0 q = q \gamma_0$para cualquier cuaternión espacial$q$.$\gamma_0$siempre conmutará con esto porque porque$q$es de la forma$q = \lambda = \gamma_i \gamma_j \mu$.$\gamma_0$viajará con$1$(si se quiere, la identidad si se debe pensar en ella como una matriz), y$\gamma_0$será anticonmutador con los dos otros$\gamma_i$y$\gamma_j$para que no haya un cambio general de signo.

Ahora, considere el producto

$$(q \gamma_0 \gamma_1 q^{-1})^2 = q \gamma_0 \gamma_1 q^{-1} q \gamma_0 \gamma_1 q^{-1} = q (\gamma_0 \gamma_1)^{2} q^{-1}$$

Así que en la serie de potencias, la$q$y$q^{-1}$se cancelarán constantemente entre sí en el medio. Se sacan de una exponencial, por lo que obtenemos

$$e^{q \gamma_0 \gamma_1 q^{-1}} = q e^{\gamma_0 \gamma_1} q^{-1}$$

Así que ahora, si queremos potenciar un vector$a$en una dirección arbitraria, tenemos algo de la forma

$$a' = q e^{-\gamma_0 \gamma_1 \phi/2} q^{-1} a q e^{\gamma_0 \gamma_1 \phi/2} q^{-1}$$

O, si dejamos$p = e^{-\gamma_0 \gamma_1\phi/2}$, definir$R(a) = qaq^{-1}$como la rotación espacial y$L(a) = pap^{-1}$como impulso no rotado, obtenemos

$$a' = qpq^{-1}aqpq^{-1} = RLR^{-1}(a)$$

Entonces, para aumentar un vector en una dirección arbitraria, debe (1) girar esa dirección hacia un eje fijo, (2) aumentar con respecto a ese eje y (3) luego girar ese eje hacia la dirección arbitraria. Esta es exactamente la forma en que le han dicho que describa el impulso arbitrario.

En realidad es muy simple. La transformación general de Lorentz se puede reescribir como

$$\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & H^\textrm{t} \end{matrix}\right)\,\left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix}\right) = L_u \,\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & K^\textrm{t} \end{matrix}\right) \,\left(\begin{matrix} ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right)\,.$$ Esto corresponde a alinear el $x$y $x^\prime$ejes con la dirección de la velocidad relativa, y luego aplicando la transformación estándar de Lorentz.