¿Qué tiene de malo esta aplicación de Thomas Precession a las mediciones de velocidad de movimiento circular?

Esta es una gran pregunta porque plantea algunas sutilezas reales que Jackson pasa por alto, o al menos no las deja tan claras como podría. Diferentes objetos tienen diferentes leyes de transformación, y el vector de posición que describe simplemente no se transforma de acuerdo con la ley de precesión de Thomas.

En última instancia, la precesión de Thomas solo es útil para vectores que deben medirse en relación con un marco de "propagación paralela", es decir, un marco transportado junto con la partícula alrededor del círculo sin ninguna rotación extraña. (Más precisamente, el nombre técnico de este acarreo es transporte de Fermi-Walker). En la aplicación original, el vector relevante era el espín del electrón a medida que se movía alrededor del núcleo. (Un modelo más familiar al que se hace referencia con frecuencia para la precesión de Thomas es un giroscopio, donde su eje de giro debe permanecer apuntando en la "misma" dirección a medida que se mueve). Tenga en cuenta que un electrón lleva consigo su giro, en cierto sentido. ; no necesita referirse a ningún punto en particular fuera del electrón. Pero el vector de posición simplemente no está en esta clase;

Ahora, podría preguntarse cuál debería ser la ley de transformación, si no la ley de precesión de Thomas. Bueno, estás viendo la derivada temporal del vector de posición, así que solo estás hablando de una velocidad medida en dos marcos diferentes. Sabes por la relatividad especial básica que esto se describe mediante la fórmula de adición de velocidad (con una aplicación bastante trivial en esta situación). Si observador$n$(nonrot) mide algo que se mueve a velocidad$u$y observador$r$(el resto) se mueve con respecto a$n$a velocidad$v$, después$r$mide esa cosa que se mueve a velocidad

También vale la pena mencionar una segunda sutileza que Jackson pasa por alto. Habla sobre el origen de las coordenadas del marco de referencia en movimiento, pero su derivación en realidad no se ocupa del origen; utiliza rotaciones y aumentos, pero no traducciones. Por lo tanto, la fórmula en realidad no se aplica a los vectores que se refieren específicamente al origen, un hecho que insinuó al señalar que la fórmula se aplica a "cualquier vector físico$\mathbf{G}$(énfasis mío). Estrictamente hablando,$\mathbf{x}$es un dispositivo matemático sin significado físico intrínseco. Puede usarlo para etiquetar puntos, de modo que pueda hablar sobre el campo eléctrico.$\mathbf{E}(\mathbf{x})$en ese momento, por ejemplo. En particular, su aparición en$\boldsymbol{\omega}_T \times \mathbf{x}$realmente me pone nervioso sin siquiera pensar en el contenido de la fórmula. Por otro lado, cuando lo diferencia, se deshace de cualquier dependencia del origen, por lo que$d \mathbf{x} / dt$está bien

Para resumir, la precesión de Thomas simplemente no se aplica al vector de posición. En cambio, la relación entre los vectores de velocidad en diferentes marcos viene dada simplemente por la conocida ley de suma de velocidades.

No he descubierto cómo resolver completamente el problema, pero he encontrado dos errores (de los cuales estoy absolutamente seguro) en lo que has hecho. Incorporar estos dos todavía no da la respuesta correcta, algo más también está mal.

(1) Está utilizando una expresión incorrecta para la aceleración que es válida solo para casos clásicos. Eso es,$\ a = \frac{\ v^2}{\ x}$. el correcto es$\ a = \frac{\ v^2 \gamma}{\ x}$

Estas páginas del libro Gravity de Hartle te ayudarán. Vea el ejemplo 5.6, la ecuación 5.52 y lo que está escrito después.

(2) $\ dt$tiene que ser corregido. Usar$\gamma\ {dt_{rest frame}}=d\tau_{rest frame}$Mira la línea que sigue a la ecuación 11.119 en tu libro de texto.

El caso es que la derivación de esta fórmula implica que$\bf{\omega}_T$describe la precesión adicional debido a los efectos relativistas:

Tenga en cuenta que Jackson en la siguiente ecuación agrega $\bf{\omega}_T$a$\frac{e\bf{B}}{mc}$- precesión debida al campo magnético.