Derivación de la ley de reflexión para un espejo en movimiento en relatividad

Hay dos marcos de referencia inerciales involucrados; un marco "imprimado" en el que el espejo está en reposo, y un marco "no imprimado" en el que el espejo se mueve en la dirección opuesta a la normal de la superficie del espejo. Etiquete las coordenadas de modo que la dirección en la que se mueve el espejo (es decir, la dirección opuesta a la normal de la superficie) sea la$x$y$x'$dirección, la otra dirección en el plano que contiene los haces incidente y reflejado es la$y$y$y'$dirección, y la dirección que no es importante para este problema es la$z$y$z'$dirección.

En cualquiera de los marcos, las componentes de las tres velocidades de un fotón incidente están dadas por las proyecciones de las tres velocidades en los ejes de coordenadas. Es decir, la triple velocidad de un fotón incidente, medida en cada uno de los dos marcos de referencia, es

$$\mathbf{u}_i=\left(\begin{array}{c}c\cos\theta_i \\ c\sin\theta_i \\ 0\end{array}\right)$$

y

$$\mathbf{u}'_i=\left(\begin{array}{c}c\cos\theta'_i \\ c\sin\theta'_i \\ 0\end{array}\right)\ \ ,$$

dónde$\theta_i$y$\theta'_i$son el ángulo de incidencia medido en cada uno de los dos marcos de referencia, y$c$por supuesto es la velocidad de la luz.

La derivación en la pregunta utiliza una versión de la fórmula de adición de velocidad relativista , cuya prueba se puede encontrar en el artículo de Wikipedia vinculado. Esa fórmula establece que si un marco preparado se mueve con velocidad$v$en el$x$dirección medida en un marco sin imprimación, las velocidades a lo largo de la$x$y$x'$dirección, medida en cada uno de los dos marcos, se relacionan como

$$u_x=\frac{u'_x+v}{1+v u'_x/c^2}\ \ .$$

Enchufando el$x$y$x'$componentes de$\mathbf{u}_i$y$\mathbf{u}'_i$en la ecuación de adición de velocidad relativista, es decir, estableciendo

$$u_x=c \cos\theta_i$$

y

$$u'_x = c \cos\theta'_i$$

da

$$c \cos\theta_i=\frac{c \cos\theta'_i+v}{1+v c \cos\theta'_i/c^2}\ \ .$$

Dividiendo ambos lados de esa ecuación por$c$da

$$\cos\theta_i=\frac{\cos\theta'_i+\beta}{1+\beta \cos\theta'_i}\ \ ,$$

dónde$\beta = v/c$.

Podemos realizar un procedimiento similar con un fotón reflejado. La triple velocidad de un fotón reflejado, medida en cada uno de los dos marcos de referencia, es

$$\mathbf{u}_r=\left(\begin{array}{c}-c\cos\theta_r \\ c\sin\theta_r \\ 0\end{array}\right)$$

y

$$\mathbf{u}'_r=\left(\begin{array}{c}-c\cos\theta'_r \\ c\sin\theta'_r \\ 0\end{array}\right)\ \ ,$$

dónde$\theta_r$y$\theta'_r$son el ángulo de reflexión medido en cada uno de los dos marcos de referencia. En el caso del fotón reflejado, los valores que introducimos en la fórmula de adición de velocidad relativista son

$$u_x=-c \cos\theta_r$$

y

$$u'_x = -c \cos\theta'_r\ \ ,$$

donación

$$- c \cos\theta_r=\frac{-c \cos\theta'_r+v}{1+v (-c \cos\theta'_r)/c^2}\ \ .$$

Dividiendo ambos lados de esa ecuación por$-c$da

$$\cos\theta_r=\frac{\cos\theta'_r-\beta}{1-\beta \cos\theta'_r}\ \ .$$

Las fórmulas anteriores para$\cos\theta_i$y$\cos\theta_r$son inconvenientes a los efectos de comparar$\theta_i$y$\theta_r$, en gran parte debido a$\theta'_i$y$\theta'_r$cada uno aparece dos veces en las ecuaciones. Podemos llegar a ecuaciones más simples usando la fórmula del medio ángulo tangente

$$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\ \ .$$

Aplicando la fórmula del medio ángulo tangente a$\theta_i$da

$$\begin{align} \tan\left(\frac{\theta_i}{2}\right)&=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_i}{1+\cos\theta_i}}\\ &=\sqrt{\frac{1-\frac{\cos\theta'_i+\beta}{1+\beta \cos\theta'_i}}{1+\frac{\cos\theta'_i+\beta}{1+\beta \cos\theta'_i}}}\\ &=\sqrt{\frac{1+\beta \cos\theta'_i-(\cos\theta'_i+\beta)}{1+\beta \cos\theta'_i+\cos\theta'_i+\beta}}\\ &=\sqrt{\frac{(1-\beta)(1-\cos\theta'_i)}{(1+\beta)(1+\cos\theta'_i)}}\\ &=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\sqrt{\frac{1-\cos\theta'_i}{1+\cos\theta'_i)}}\\ &=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\tan\left(\frac{\theta'_i}{2}\right)\ \ . \end{align}$$

Aplicando la fórmula del medio ángulo tangente a$\theta_r$procedería de manera similar, excepto que$\theta'_i$es reemplazado en todas partes por$\theta'_r$, y$\beta$es reemplazado en todas partes por$-\beta$. El resultado es pues

$$\tan\left(\frac{\theta_r}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\tan\left(\frac{\theta'_r}{2}\right)$$

o

$$\tan\left(\frac{\theta'_r}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\tan\left(\frac{\theta_r}{2}\right)\ \ .$$

Pero como el espejo no se mueve en el marco preparado, la ley normal de reflexión es válida en el marco preparado,$\theta'_i=\theta'_r$, y así tenemos

$$\begin{align} \tan\left(\frac{\theta_i}{2}\right)&=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\tan\left(\frac{\theta'_i}{2}\right)\\ &=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\tan\left(\frac{\theta'_r}{2}\right)\\ &=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\left(\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\tan\left(\frac{\theta_r}{2}\right)\right)\\ &=\left(\frac{1-\beta}{1+\beta}\right)\tan\left(\frac{\theta_r}{2}\right)\ \ , \end{align}$$

cual era el resultado a mostrar.

Tenga en cuenta que para$0<\beta<1$,

$$0<\left(\frac{1-\beta}{1+\beta}\right)< 1\ \ ,$$

entonces

$$\tan\left(\frac{\theta_i}{2}\right)<\tan\left(\frac{\theta_r}{2}\right)$$

y$\theta_i<\theta_r$.

APÉNDICE:

Como respuesta a los comentarios sobre esta respuesta, lo siguiente proporciona una aclaración adicional de la declaración confusa en la pregunta de que "Para los cambios de rayos reflejados$\theta$antes era$\theta_i$es ahora$\theta =\pi-\theta_r$, similarmente$\theta'= \pi- \theta'_r$ondas$\cos \theta = - \cos (\theta_r)$":

Para una de tres velocidades$\mathbf{u}$en general, el$x$componente de$\mathbf{u}$,$u_x$, está dada por la proyección escalar de$\mathbf{u}$sobre$\hat{\mathbf{x}}$, el vector unitario en el$x$dirección. Según el artículo de Wikipedia de proyección escalar , la proyección escalar se puede expresar como

$$u_x=\left|\mathbf{u}\right|\cos\theta\ \ ,$$

dónde$\left|\mathbf{u}\right|$es la longitud de$\mathbf{u}$, y$\theta$es el ángulo entre$\mathbf{u}$y$\hat{\mathbf{x}}$.

La velocidad de un fotón incidente o reflejado es$c$, es decir,

$$\left|\mathbf{u}_i\right|=\left|\mathbf{u}_r\right|=c\ \ ,$$

así que en cualquier caso usamos$\left|\mathbf{u}\right|=c$en la ecuación de proyección escalar para$u_x$.

El ángulo de incidencia $\theta_i$se define como el ángulo entre$-\mathbf{u}_i$y$\hat{\mathbf{n}}$, dónde$\hat{\mathbf{n}}$es la unidad de la superficie del espejo normal. Pero ese ángulo es el mismo que el ángulo entre$\mathbf{u}_i$y$-\hat{\mathbf{n}}$, que es igual al ángulo entre$\mathbf{u}_i$y$\hat{\mathbf{x}}$, ya que hemos definido nuestro sistema de coordenadas tal que$\hat{\mathbf{x}}=-\hat{\mathbf{n}}$. Así, al tratar con$\mathbf{u}_i$, solo usamos$\theta=\theta_i$en la ecuación de proyección escalar para$u_x$, es decir

$$u_x=\left|\mathbf{u}\right|\cos\theta=c\cos \theta_i\ \ ,$$

como en la respuesta original anterior.

Por otro lado, el ángulo de reflexión$\theta_r$se define como el ángulo entre$\mathbf{u}_r$y$\hat{\mathbf{n}}$. El ángulo entre$\mathbf{u}_r$y$\hat{\mathbf{x}}$difiere de$\theta_r$por$\pi$radianes, porque el ángulo entre$\hat{\mathbf{n}}$y$\hat{\mathbf{x}}$es$\pi$radianes Así, cuando tratamos con un fotón reflejado, usamos$\theta=\pi-\theta_r$en lugar de$\theta=\theta_i$en la ecuación de proyección escalar para$u_x$,

$$u_x=\left|\mathbf{u}\right|\cos\theta=c\cos (\pi-\theta_r)=-c\cos\theta_r\ \ ,$$

como en la respuesta original.

Las ecuaciones de proyección escalar para$u'_x$son las mismas que las ecuaciones de proyección escalar para$u_x$, por las mismas razones, excepto que utilizan$\theta'_i$y$\theta'_r$en lugar de$\theta_i$y$\theta_r$.

Publicaría este video como respuesta: https://www.youtube.com/watch?v=v8lzsYh3JRY&list=PLj6DWzIvBi4PFDXCCV1bNhVUgDLTwVbFc&index=13

Una variación sería hacer brillar un haz de luz horizontal en un espejo montado a 45 grados en un barco en movimiento. De cualquier manera (reloj de luz o espejo), el haz resultante sería vertical. El video muestra cómo calcular el ángulo desde la vertical visto desde una perspectiva estacionaria de un reloj o espejo de luz en movimiento. En lugar de utilizar la dilatación del tiempo, el mismo problema se puede resolver mediante la contracción de la longitud de la base del espejo de 45 grados, aunque esta es una forma mucho más compleja de abordar el problema. Esa solución se puede ver aquí:

https://www.physicsforums.com/threads/45-dergree-mirrors-in-special-relativity.352427/