Lagrangiana de Path Integral

Si conoce el propagador, es decir.$\langle x'|e^{itH}|x\rangle\,,$entonces podrías diferenciar con respecto al tiempo en$t=0$Llegar$\langle x'|H|x\rangle\,.$De esto tenemos, usando la resolución de la identidad,$H|x\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx'\, |x'\rangle\langle x'|H|x\rangle\,,$de la que tenemos$V(x)|x\rangle=\int_{-\infty}^\infty \, |x'\rangle\langle x'|H|x\rangle\,dx'-\frac{p^2}{2m}|x\rangle\,,$o tomando cualquier estado$|\psi\rangle\,,$

$\displaystyle V(x)=\frac{\int_{-\infty}^\infty \, \langle\psi|x'\rangle\langle x'|H|x\rangle\,dx'-\frac{\Delta}{2m}\langle\psi|x\rangle}{\langle\psi|x\rangle}\,,$y luego$L=T-V\,.$

Entonces, parece que debería ser posible en principio (sin embargo, hice algunas suposiciones sobre la independencia temporal del hamiltoniano en mi derivación, pero me parece en este momento que podría resolverlo sin esta suposición).

Los propios propagadores no son indicativos de la forma del Lagrangiano. Solo brindan información sobre la naturaleza del campo, por ejemplo, escalar / fermión / bosón vectorial, etc. (¿métrica de gravedad?). Las cosas que aluden a cómo se ve el Lagrangiano son vértices/interacciones. Como un ejemplo simple: si tienes una teoría de campo$\phi$con un vértice de 4 puntas, entonces el Lagrangiano (lo más probable) tiene$\phi^4$-término, o si tiene un vértice de bosón-fermión-antifermión, entonces probablemente haya un término$e \, \bar{\psi} {\not}{A} \psi$...

Tengo el presentimiento de que podría no ser posible en el caso general. Dado que ya integró los campos, sería similar a tratar de encontrar la integral original de un número real. También la integral de trayectoria básica$Z[0] =1$no importa el campo, por ejemplo.