Punto de giro de un cable tensado no plano [cerrado]

En el equilibrio mecánico, la energía potencial debe ser mínima, consulte, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Minimum_total_potential_energy_principle , y para cualquier material de cuerda razonable, la energía potencial de la cuerda estirada debe ser una función monótonamente creciente. de su longitud. Por lo tanto, la longitud de la cuerda entre los puntos A y B se minimiza con la elección adecuada de y. Esto se puede resolver formalmente encontrando el mínimo de la longitud de la cuerda dada por

$L(y)=(l_1^2+y^2)^{1/2} + (l_2^2+(H-y)^2)^{1/2}$,

dónde$l_1$y$l_2$son proyecciones horizontales de la distancia desde los puntos A y B hasta el punto de flexión, y H es la altura del punto B.

Escribiendo$dL/dy=0$inmediatamente lleva a la relación$\frac{y}{l_1} = \frac{H-y}{l_2}$que es, por supuesto, la declaración de pendiente constante. La ventaja de resolverlo formalmente como un problema de minimización es que uno puede aplicar este principio a problemas similares pero más difíciles, con múltiples tambores y pilares que tienen diámetros finitos, formas de sección transversal no triviales, etc.

Si la cuerda puede deslizarse libremente hacia arriba o hacia abajo del pilar, entonces su pendiente con respecto al suelo será constante, es decir, la misma entre A y C que entre C y B. Esto se debe a que si "desenrollamos" la cuerda y hay un " torcedura" donde cambia la pendiente, entonces hay un componente de tensión que tira de la cuerda en línea recta. Si no hay nada que se oponga a esta fuerza lateral (como la fricción con el pilar), la cuerda se deslizará hacia arriba/abajo hasta que se enderece, para minimizar la tensión.

Después de "desenrollar" la cuerda del pilar para que quede recta, por triángulos semejantes tenemos:
altura en C / altura en B = distancia AC / distancia AB.

Si hay fricción entre la cuerda y el pilar, evitará que la cuerda se "enderece". La altura de la cuerda sobre el pilar es entonces difícil de predecir y depende de dónde se colocó inicialmente.