Derivación de la definición de celosía recíproca

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Derivación de la definición de celosía recíproca

compmatsci

La derivación de vectores reticulares recíprocos en términos de vectores reticulares espaciales directos comienza aplicando la expansión de una función reticular invariante traslacionalmente $f(\bf{R_k}+r)$ en ondas planas $f_k e^{i G_m \cdot R_k} e^{i G_m \cdot r}$ . Entonces por la invariancia traslacional

{mi}^{i {GRAMO}_{metro} \cdot R_{k}} = 1

$e^{i G_m \cdot R_k} = 1$ de donde tenemos (1)

{GRAMO}_{metro} \cdot R_{k} = 2 π norte

$G_m \cdot R_k = 2\pi N$ donde N es un número entero.

A partir de esto, el siguiente paso en la mayoría de las derivaciones dice que (2)

{\vec{a_{i}}}^{*} \cdot \vec{a_{j}} = 2 π d_{i, j}

$\vec{a_i}^* \cdot \vec{a_j} = 2\pi \delta_{i,j}$ o en forma matricial

(A^{*})^{T} A = 2 π I (A^{*})^{T} = 2 π A^{- 1} .

$(\bf{A^*})^T\bf{A} = 2\pi \bf{I}\\ (\bf{A^*})^T = 2\pi \bf{A}^{-1}.$ Sin embargo, no veo cómo podemos deducir (2) de (1).

Escribiendo $G_m = h \vec{a_1}^* + k \vec{a_2}^* + l \vec{a_3}^*$ y $R_k = m \vec{a_1} + n \vec{a_2} + o \vec{a_3}$ para

(h {\vec{a_{1}}}^{*} + k {\vec{a_{2}}}^{*} + yo {\vec{a_{3}}}^{*}) \cdot (metro \vec{a_{1}} + norte \vec{a_{2}} + o \vec{a_{3}}) = 2 π norte

$(h \vec{a_1}^* + k \vec{a_2}^* + l \vec{a_3}^*) \cdot (m\vec{a_1} + n \vec{a_2} + o \vec{a_3}) = 2\pi N$ Todavía no lo veo inmediatamente.

Cualquier ayuda sería apreciada, gracias.

Respuestas (2)

Derivación de la definición de celosía recíproca

usuario154997 · Answer 1

Primero, la convención en cristalografía es escribir la serie de Fourier con un $2\pi$ en la fase, es decir, para reemplazar su $G$ con $2\pi G$ , que haré a continuación. También dejaré el índice. $m$ en $G_m$ porque no juega ningún papel. Entonces su ecuación (1) es equivalente a requerir que

GRAMO . (metro {\vec{a}}_{1} + norte {\vec{a}}_{2} + o {\vec{a}}_{3})

$G.(m \vec{a}_1 + n \vec{a}_2 + o\vec{a}_3)$

es un entero para cualquier entero $m$ , $n$ , y $o$ . Tomando los tres siguientes $mno$ : 100, 010, 001, obtenemos las llamadas ecuaciones de Laue:

\begin{aligned} GRAMO . {\vec{a}}_{1} & = h \\ GRAMO . {\vec{a}}_{2} & = k \\ GRAMO . {\vec{a}}_{3} & = yo \end{aligned}

$\begin{aligned} G.\vec{a}_1 &= h\\ G.\vec{a}_2 &= k\\ G.\vec{a}_3 &= l \end{aligned}$

para algunos enteros $h$ , $k$ , $l$ .

Diría que la forma más tradicional de proceder desde aquí es usar la existencia de una base única $(\vec{a}^*_1, \vec{a}^*_2, \vec{a}^*_3)$ doble a la base $(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3)$ , que tiene la propiedad esencial de que para cualquier vector $\vec{H}$ ,

\begin{matrix} (3) & \vec{H} = (\vec{H} . {\vec{a}}_{1}) {\vec{a}}_{1}^{*} + (\vec{H} . {\vec{a}}_{2}) {\vec{a}}_{2}^{*} + (\vec{H} . {\vec{a}}_{3}) {\vec{a}}_{3}^{*} . \end{matrix}

$\vec{H}=(\vec{H}.\vec{a}_1)\vec{a}^*_1 + (\vec{H}.\vec{a}_2)\vec{a}^*_2 + (\vec{H}.\vec{a}_3)\vec{a}^*_3.\tag{3}$

Las ecuaciones de Laue dan inmediatamente

\vec{GRAMO} = h {\vec{a}}_{1}^{*} + k {\vec{a}}_{2}^{*} + yo {\vec{a}}_{3}^{*},

$\vec{G}=h\vec{a}^*_1 + k\vec{a}^*_2 + l\vec{a}^*_3,$

demostrando que $\vec{G}$ can es una combinación lineal de $\vec{a}^*_i$ 's con coeficientes enteros .

su ecualizador (2) se cumple para esta base dual (sin el factor $2\pi$ ),

\begin{matrix} (2) & {\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{a}}_{j}^{*} = d_{i j} \end{matrix}

$\vec{a}_i\cdot\vec{a}^*_j = \delta_{ij}\tag{2}$

ya que esta es otra caracterización de la misma, pero no viene como consecuencia de (1) en este enfoque: en cambio, es un resultado general y fundamental del álgebra lineal (ya que las bases duales existen en cualquier dimensión). En la dimensión 3, el enfoque más simple es construir la base dual como

{\vec{a}}_{1}^{*} = \frac{{\vec{a}}_{2} \times {\vec{a}}_{3}}{det ({\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3})}

$\vec{a}^*_1 = \frac{\vec{a}_2\times\vec{a}_3}{\det(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3)}$

y permutación circular de índices. Entonces (2) sigue fácilmente, de lo cual (3) es entonces obvio.

Esto fue marcado como de baja calidad. Si bien parece responder a la pregunta, parece que podría ser más apropiado agregar un detalle adicional más o menos (cómo tiene que ser cierto, cómo conduce a (2), etc.).

esponja · Answer 2

Si tiene una red definida por (con m, n, o entero)

$\mathbf{l}=m\mathbf{a}_1 + n \mathbf{a}_2 + o \mathbf{a}_3$

entonces se puede escribir como una función delta 3D $\delta(\mathbf{r}-\mathbf{l})$ .

La red recíproca es, por definición, su transformada de Fourier $\delta(\mathbf{k}-\mathbf{G})$

Ahora, si haces la transformada de Fourier de la red directa, encontrarás una red recíproca de lado $2\pi/\mathbf{a}$ .

Por lo tanto, tu red recíproca es

$\mathbf{G}=k\mathbf{a}_1^* + p \mathbf{a}_2^* + t \mathbf{a}_3^*$ dónde

$\mathbf{a}^*=2\pi/\mathbf{a}$

mejor, sam

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usuario154997

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