¿Cómo probar que la función de Bloch es periódica en una red recíproca?

Question

¿Cómo probar que la función de Bloch es periódica en una red recíproca?

Tim

¿ Cómo probar que la función de Bloch es periódica en una red recíproca?

Vi en algunos libros de texto esta fórmula:

Ψ_{k} (r) = \sum_{GRAMO} C_{k + GRAMO} {mi}^{i (k + GRAMO) \cdot r}

$\Psi_{\mathbf{k}} (\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{G}} c_{\mathbf{k}+\mathbf{G}}e^{i(\mathbf{k}+\mathbf{G})\cdot \mathbf{r}}$ lo que hace que el enunciado de esta pregunta sea obvio. (

G

$\mathbf{G}$ es vectores de celosía recíproca)

Pero no entiendo esta fórmula. Sé

Ψ_{k} (r) = {mi}^{i k \cdot r} {tu}_{k} (r)

$\Psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ y

u_{k} (r)

$u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ es función periódica de la red, por lo tanto se puede escribir en series de Fourier:

{tu}_{k} (r) = \sum_{GRAMO} C_{k, GRAMO} {mi}^{i GRAMO \cdot r}

$u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{G}} c_{\mathbf{k},\mathbf{G}}e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}$ Ahora no entiendo por qué

c_{k, G}

$c_{\mathbf{k},\mathbf{G}}$ Se puede escribir como

c_{k + G}

$c_{\mathbf{k}+\mathbf{G}}$ ?

qmecanico

Más sobre las ondas de Bloch .

Respuestas (4)

¿Cómo probar que la función de Bloch es periódica en una red recíproca?

jgw · Answer 1

Las funciones de Bloch no son necesariamente periódicas en el espacio recíproco. Por la simetría de traslación de la red, la función de onda $\psi_{nk}(r)$ debe satisfacer la condición de Bloch:

ψ_{norte k} (r - R) = {mi}^{- i k \cdot R} ψ_{norte k} (r)

$\psi_{nk}(r-R) = e^{-ik\cdot R}\psi_{nk}(r)$ dónde

R

$R$ es un vector de red. Ahora bien, esto se satisface genéricamente mediante una función de la forma

ψ_{norte k} (r) = {mi}^{i k \cdot r} {tu}_{norte k} (r)

$\psi_{nk}(r) = e^{ik\cdot r}u_{nk}(r)$ dónde

u_{n k} (r - R) = u_{n k} (r)

$u_{nk}(r-R)=u_{nk}(r)$ . Pero la elección de

u_{n k} (r)

$u_{nk}(r)$ no es único Hay una libertad de calibre, lo que significa que podemos tomar

u_{n k} (r) \mapsto e^{- i G \cdot r} u_{n k} (r)

$u_{nk}(r)\mapsto e^{-iG\cdot r}u_{nk}(r)$ y la nueva función de onda seguirá satisfaciendo la condición de Bloch. Entonces, ¿importa cuál elegimos?

Bueno, la convención es elegir la llamada condición de calibre periódico , es decir, elegimos tener la función de onda $\psi_{nk}$ Ser periódico en el espacio recíproco: $\psi_{n,k+G}(r)=\psi_{nk}(r)$ . Para que esto sea cierto, debemos elegir un $u_{nk}(r)$ que satisface

{tu}_{norte, k + GRAMO} (r) = {mi}^{- i GRAMO \cdot r} {tu}_{norte k} (r)

$u_{n,k+G}(r) = e^{-iG\cdot r} u_{nk}(r)$

Así que esto es lo que hace $\psi_{nk}(r)$ periódico en el espacio recíproco. No tenemos que satisfacer esta condición, pero es convencional y conveniente.

Como comentario adicional, la condición de calibre periódico no siempre es posible. Al menos no de una manera fluida. Cuando la banda es topológica, es decir, tiene un número de Chern no trivial, existe una obstrucción topológica. Esto, entre otras cosas, implica que los estados de Wannier correspondientes no están localizados. Entonces, la pregunta del OP es realmente muy buena y no trivial, aunque esta importante sutileza a menudo se pasa por alto en los libros. Referencias: arxiv.org/abs/cond-mat/0608527 , arxiv.org/abs/math-ph/0601034 , arxiv.org/abs/cond-mat/0606726 .

usuario71065 · Answer 2

usuario71065

debido a que el índice de suma solo se relaciona con G, puede olvidarse de "k", y también k = G + k (que muestra la simetría transnacional). y mira aquí .

Tim

G=G+k? ¿Quieres decir k = k+G?

Tim

Además, su argumento no es cierto, una función de dos argumentos.

c_{k, G}

$c_{k,G}$ no es necesario depender solo de

k + G

$k+G$

usuario71065

¡Sí, corregí mi declaración!

David LUC · Answer 3

Debido a que la red recíproca $G$ -periódico, el estado con un vector de onda $k+G$ describe el mismo estado que el del vector de onda $k$ . Por lo tanto, puede reducir su estudio a la primera Zona de Brillouin ( $-\pi<k\leq\pi$ ). Esto significa que el coeficiente en su expansión de Fourier solo dependerá de dónde se encuentre dentro de esta zona. Puedes sumar o restar tantas veces $G$ como quieras de tu $k$ vector, y el resultado seguirá siendo el mismo. Al menos en descripciones simples donde ninguna corrección adicional hace que el teorema de Bloch sea solo una aproximación.

Floyd4K · Answer 4

Tampoco estoy contento con la exposición que se encuentra en la mayoría de los libros de texto (física del estado sólido) y creo que uno no puede probar esto rigurosamente sin la teoría de grupos. El argumento sería el siguiente en un escenario con condiciones de frontera periódicas (Born-von Karman) donde $\Psi (x + Na) = \Psi (x)$ (por simplicidad en 1d):

Usando

[H, T] = 0,

$[H, T] = 0~,$ donde el operador de traducción se define como

T F (X) = F (X + a),

$T f(x) = f(x + a)~,$

k

$k$ etiqueta el

N

$N$ soluciones únicas

Ψ_{k}

$\Psi_k$ que se puede distinguir por

T

$T$ y rendimiento

T Ψ_{k} (X) = {mi}^{i k a} Ψ_{k} (X) con k \in {\frac{2 π norte}{norte a} : norte \in {norte}^{[0, norte)}} .

$T \Psi_k (x) = {\rm e}^{{\rm i} k a} \Psi_k (x) \quad \text{with}\quad k \in \left\{ \frac{2 \pi n}{N a} : n \in \mathbb N^{[0, N)}\right\}~.$ Ahora bien, para cualquier

Ψ_{k^{'}}

$\Psi_{k'}$ con

k^{'} = k + G

$k' = k + G$ , dónde

G = 2 π / a \cdot m

$G = 2\pi / a \cdot m$ es un múltiplo entero del vector reticular recíproco

b = 2 π / a

$b = 2\pi / a$ , encontraríamos

T Ψ_{k + GRAMO} (X) = {mi}^{i k a} Ψ_{k + GRAMO} (X),

$T \Psi_{k+G}(x) = {\rm e}^{{\rm i} k a} \Psi_{k+G} (x)~,$ es decir

Ψ_{k^{'}}

$\Psi_{k'}$ da los mismos valores propios de

T

$T$ como

Ψ_{k}

$\Psi_k$ y por lo tanto no se distingue de

Ψ_{k}

$\Psi_k$ ya que pertenece a la misma representación irreductible. Podemos por tanto definir

Ψ_{k + GRAMO} (X) \equiv Ψ_{k} (X) para cualquier GRAMO = 2 π / a \cdot metro .

$\Psi_{k + G} (x) \equiv \Psi_k (x) \quad\text{for any}\quad G=2\pi/a \cdot m~.$ Todas las propiedades de la representación de Fourier de

Ψ_{k}

$\Psi_k$ son consecuencia de esto y no al revés.

Literatura:

Dresselhaus, Teoría de grupos, cap. 10.2
Zee, Teoría de grupos en pocas palabras, cap. III.1

tengo la misma duda Muchas gracias por tu ayuda. Tengo una duda. Espero que puedas responder. Usted escribió: "Ψk′ produce los mismos valores propios de T que Ψk y, por lo tanto, no se distingue de Ψk". ¿Es esta una propiedad de las funciones propias? o es parte de la teoría de grupos?
Es una propiedad del operador. $T$ que solo tiene $N$ valores propios y, por lo tanto, funciones propias etiquetadas por el $N$ valores de $k$ . ¿Eso ayuda?
Gracias por su respuesta. Lo siento, aún no me queda claro. Entonces, el argumento es que el operador T tiene solo un conjunto de valores propios, y dado que ambos estados tienen los mismos valores propios, entonces deben ser el mismo estado. Pero, ¿cómo sabemos que esto debe ser así? ¿Qué vamos a concluir esto? ¿Cómo estamos seguros de que no son estados diferentes con los mismos valores propios?
No dije ni diría must , pero can , en el siguiente sentido: las dos funciones "aparecerán" transformadas de la misma manera en las traducciones, por lo que no podrán representar estados que difieran en las propiedades de traducción. Por supuesto, esto no significa que no pueda tener más de un estado físico en un momento dado. $k$ . Al contrario, por eso tenemos una estructura de banda. Pero todas las funciones de onda en este $k$ se transformará de manera similar bajo traducción por $a$ .

¿Cómo probar que la función de Bloch es periódica en una red recíproca?

Tim

qmecanico

Respuestas (4)

jgw

Heidar

usuario71065

Tim

Tim

usuario71065

David LUC

Floyd4K

OMS

Floyd4K

OMS

Floyd4K

¿Es esta estructura triclínica 2D?

Derivación de la definición de celosía recíproca

Notación del vecino atómico más cercano

¿Las transiciones ópticas indirectas "enfrían" un poco el material?

Relación de dispersión cerca de las zonas de Brillouin - Potenciales periódicos

Paramagnetismo Spin-1/2 Partículas - Función de partición

¿Por qué las ondas de sonido están asociadas con modos que obedecen a una relación de dispersión lineal?

intervalo kkk para la primera zona de Brillouin

Modelo de enlace apretado en grafeno

¿Cuál es la diferencia entre los vectores de red y los vectores de base?