Derivación de Kleppner de la transformación de Lorentz

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Derivación de Kleppner de la transformación de Lorentz

Pablo

Estoy leyendo a Kleppner. (Transformaciones de Lorentz) Dijo que tomamos la transformación más general que relaciona las coordenadas de un evento dado en los dos sistemas como de la forma

X^{'} = A X + B t, y^{'} = y, z^{'} = z, t^{'} = C X + D t,

$x'=Ax +Bt, y'=y, z'=z, t'=Cx +Dt,$ y luego descubrió las constantes considerando cuatro casos en los que sabemos a priori cómo aparece un evento en los dos sistemas.

pero ¿por qué las transformaciones son lineales? Dijo que una transformación no lineal predeciría la aceleración en un sistema incluso si la velocidad fuera constante en el otro. Pero creo que eso es lo que sucede cuando consideramos la fuerza de Lorentz (sin campo eléctrico) si $v$ (velocidad de una partícula cargada) es cero en un marco de inercia, entonces no hay fuerza de Lorentz en la partícula (por lo tanto, la partícula no tiene aceleración en ese marco). pero este puede no ser el caso en otros marcos inerciales (donde la velocidad de la partícula cargada no es cero)? ¿Qué pasa aquí?

curioso

Una transformación no lineal conduce a pseudofuerzas si las coordenadas se interpretan como coordenadas euclidianas. No hay nada de malo en analizar la física en tales sistemas de coordenadas; de hecho, las coordenadas generalizadas en la mecánica lagrangiana y hamiltoniana están haciendo precisamente eso con enorme éxito. En cuanto a la segunda parte de la pregunta: un impulso no solo cambiará la velocidad de la partícula, sino que también transformará los campos, de modo que una partícula que no está acelerada en un sistema tampoco lo estará en otro.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/12664/2451 y enlaces allí.

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Derivación de Kleppner de la transformación de Lorentz

Una transformación no lineal conduce a pseudofuerzas si las coordenadas se interpretan como coordenadas euclidianas. No hay nada de malo en analizar la física en tales sistemas de coordenadas; de hecho, las coordenadas generalizadas en la mecánica lagrangiana y hamiltoniana están haciendo precisamente eso con enorme éxito. En cuanto a la segunda parte de la pregunta: un impulso no solo cambiará la velocidad de la partícula, sino que también transformará los campos, de modo que una partícula que no está acelerada en un sistema tampoco lo estará en otro.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/12664/2451 y enlaces allí.

Selene Routley · Answer 1

La linealidad se sigue de:

Invariancia de traducción (donde nos referimos a la traducción en el espacio y el tiempo): la imagen de un vector $\vec{AB}$ unirse a eventos $A$ y $B$ bajo una transformación de Lorentz $\mathscr{L}:\mathbb{R}^{1+3}\to\mathbb{R}^{1+3}$ no se ve afectado por la adición de cualquier desplazamiento agregado a ambos extremos $A$ y $B$ ;
Continuidad : La transformación de Lorentz $\mathscr{L}:\mathbb{R}^{1+3}\to\mathbb{R}^{1+3}$ es un mapa continuo.

Para ver cómo se desarrolla esto, nuestro axioma de invariancia de traducción está codificado:

\begin{matrix} (1) & L (X + Y) - L (Y) = L (X) - L (0); \forall X, Y \in R^{1 + 3} \end{matrix}

$\mathscr{L}(X+Y)-\mathscr{L}(Y) = \mathscr{L}(X)-\mathscr{L}(0);\quad\forall\,X,\,Y\in\mathbb{R}^{1+3}\tag{1}$

si definimos $h:\mathbb{R}^{1+3}\to\mathbb{R}^{1+3}$ por $h(Z)=\mathscr{L}(Z)-\mathscr{L}(0)$ entonces se sigue de (1) solo que:

\begin{matrix} (2) & h (X + Y) = h (X) + h (Y); \forall X, Y \in R^{1 + 3} \end{matrix}

$h(X+Y)=h(X)+h(Y);\quad\forall\,X,\,Y\in\mathbb{R}^{1+3}\tag{2}$

Esta es la famosa ecuación funcional de Cauchy generalizada a $3+1$ dimensiones. Para una dimensión real, la única solución continua es $h(X)\propto X$ ; hay otras soluciones, pero son discontinuas en todas partes, como se muestra en la Sección 1.5 de la referencia de Hewitt y Stromberg que doy al final. Es fácil ampliar el argumento de Hewitt-Stromberg a cualquier número de dimensiones, de modo que, dado nuestro postulado de continuidad, debemos tener:

\begin{matrix} (3) & L (X) = Λ X + Δ \end{matrix}

$\mathscr{L}(X) = \Lambda\,X + \Delta\tag{3}$

dónde $\Lambda$ es un operador lineal - un $4\times4$ matriz y $\Delta$ un desplazamiento del espacio-tiempo. Dado nuevamente nuestro postulado de invariancia de traslación, podemos trasladar la imagen (3) para cancelar el desplazamiento, de donde vemos que podemos, sin pérdida de generalidad, tomar la transformación de Lorentz como lineal y homogénea :

\begin{matrix} (4) & L (X) = Λ X \end{matrix}

$\mathscr{L}(X) = \Lambda\,X\tag{4}$

Referencia

E. Hewitt & KR Stromberg, " Real and Abstract Analysis " (Textos de posgrado en matemáticas), Springer-Verlag, Berlín, 1965. Capítulo 1, sección 5 construye todas las soluciones a la ecuación de Cauchy $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,f(x+y)=f(x)+f(y)$ . Vale la pena mirarlos, los discontinuos son realmente extraños y maravillosos.

Derivación de Kleppner de la transformación de Lorentz

Pablo

curioso

qmecanico

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Selene Routley

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