Campo de la muerte en el espacio-tiempo de Minkowski

Aquí hay un método:

1. La ecuación de matar

   $$({\cal L}_X\eta)_{\mu\nu}~=~0\tag{1}$$ para una métrica constante $$\eta_{\mu\nu}={\rm const}\tag{2}$$
   lee $$X_{\mu,\nu}+X_{\nu,\mu}~=~0,\tag{3}$$ como OP menciona correctamente.

2. Por otro lado, considere una transformación de coordenadas

   $$x^{\mu}~~\longrightarrow~~ x^{\prime \nu}~=~f^{\nu}(x), \tag{4}$$ que conserva la métrica (2), es decir $$\eta_{\mu\nu}~=~\frac{\partial x^{\prime\kappa}}{\partial x^{\mu}}\eta_{\kappa\lambda}\frac{\partial x^{\prime\lambda}}{\partial x^{\nu}}. \tag{5}$$ Tenga en cuenta que para una transformación de coordenadas infinitesimales de la forma $$\delta x^{\mu}~=~x^{\mu \prime}-x^{\mu}~=~ \varepsilon X^{\mu}, \tag{6}$$ ec. (5) se convierte exactamente en la misma ecuación. (3)!

3. Las soluciones (4) a la ec. Se ha demostrado que (5) son transformaciones afines , por ejemplo, en esta publicación de Phys.SE utilizando varios métodos.

Esto es esencialmente una consecuencia de la conexión en$\mathbb{R}^n$siendo plano.

Uno puede dar la$\omega$en$X = c + \omega x$explícitamente como$\omega_{\mu\nu} = \partial_\mu X_\nu$, y el$c$como$c = X - \omega x$.

Por un campo de exterminio$X$uno tiene eso$\nabla_\mu\nabla_\nu X_\rho = {R^\sigma}_{\mu\nu\rho}X_\sigma$, dónde$R$es el tensor de Riemann, pero$R=0$para conexiones planas, por lo que$\partial_\mu\omega_{\nu\sigma} = \partial_\mu\partial_\nu X_\sigma = 0$, es decir$\omega$es constante

evaluando$\partial_\mu c_\nu$, también se encuentra que$c$es constante si$\omega$es antisimétrica y$\partial_\mu X_\nu$es antisimétrica en virtud de la ecuación de Killing.

En conjunto, esto da$X= c+\omega x$para$c,\omega$constante y$\omega$antisimétrico