Sabemos que la longitud de un vector no depende del sistema de coordenadas que elijamos. Siempre es lo mismo. Pero, ¿sigue siendo cierto cuando agregamos dimensiones adicionales a nuestro sistema de coordenadas? Siempre que no experimentemos lógicamente, por ejemplo, cuatro o cinco dimensiones, ¿qué matemáticas prueban que la longitud es la misma en todos los sistemas de coordenadas con dimensiones superiores a tres?
No estoy seguro de entender tu pregunta, pero intentaré responderla. Supongamos que tenemos un número arbitrario de dimensiones . Entonces la longitud de un vector en este -el espacio dimensional está dado por el -norma:
Si realmente tuviéramos un espacio más pequeño, uno con menos dimensiones, digamos , entonces seguiríamos teniendo el mismo -norma, pero donde la suma solo llega a . Todos los vectores en el espacio más pequeño tienen solo (o como máximo) componentes distintos de cero.
Ahora incrustamos este espacio más pequeño en el espacio original con -dimensiones. En otras palabras, añadimos dimensiones. Así que tenemos que usar el original. -norma con componentes, sino porque sólo de estas componentes son distintas de cero, la expresión para la longitud de los vectores se reduciría a la de la -espacio dimensional. Por lo tanto, la longitud de los vectores sigue siendo la misma aunque hayamos agregado dimensiones adicionales.
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