¿Cómo surge el espín en la mecánica cuántica (relativista o no)?

¿Qué son las partículas en primer lugar? ¿Y qué es precisamente esta propiedad que llamamos "spin"?

Una forma moderna de llegar a la noción de partículas, que puede ser más transparente que la versión histórica que resumes en tu publicación, es la forma en que se presentan en el libro de texto de Weinberg sobre Teoría cuántica de campos.

Toma el espacio de Hilbert$\mathcal{H}$de su teoría cuántica, y lleve al grupo$G$de simetrías de vuestro espacio-tiempo. Para garantizar que un experimento dé los mismos resultados si lo muevo en el espacio-tiempo, lo giro o lo llevo conmigo en un crucero, debe existir una representación unitaria $U$de$G$en$\mathcal{H}$. Es decir. para cualquier$g \in G$, debe existir un operador unitario$U(g)$en$\mathcal{H}$, con:

$$U(1) = \text{id}_{\mathcal{H}} \;\&\; U(g.h) = U(g) U(h).$$

Entonces podemos descomponer esta representación$\mathcal{H}, U$en representaciones más simples. Esto significa escribir$\mathcal{H}$como suma directa de espacios de Hilbert más pequeños:

$$\mathcal{H} = \bigoplus_k \mathcal{H}_k$$ con cada $\mathcal{H}_k$siendo estabilizado por todos $U(g)$por $g \in G$, de modo que $\mathcal{H}_k, U_k := \left. U \right|_{\mathcal{H}_k}$es en sí misma una representación unitaria de G.

Una representación que no contiene ninguna representación más pequeña se denomina representación irreducible, o irrep , y las irreps más simples son las que mantienen estados cuánticos con una sola partícula (consulte a Weinberg para saber qué significa exactamente "más simple" aquí). Entonces cada irrep (simple) del grupo de simetría$G$que se puede encontrar en nuestra teoría$\mathcal{H}$es lo que definimos como una especie de partícula .

giros enteros

Bien, si queremos saber qué especies de partículas son físicamente posibles, solo necesitamos saber cuáles son las representaciones "más simples" de nuestro grupo de simetrías. Afortunadamente, se conoce una clasificación completa de ellos para el grupo de Poincaré o de Galileo. La forma en que está construida sería demasiado larga para reproducirla aquí, pero nuevamente se puede encontrar con gran detalle en Weinberg para el grupo de Poincaré ( en wikipedia se pueden encontrar breves relatos de los casos de Poincaré y Galileo ). La conclusión es que, para partículas masivas físicamente admisibles , tienen la forma:

$$\mathcal{H}_k = \text{Span} \left\{ \left| \vec{p}, m \right\rangle \middle| \vec{p} \in \mathbb{R}^3, m \in \mathbb{Z}, -s_k \leq m \leq +s_k \right\}$$ con el entero no negativo $s_k$siendo lo que se denomina el espín de esta especie de partícula $k$y $\vec{p}$siendo su impulso. La impulsión determina cómo se transforma la partícula bajo una traslación espacial : $$U_k(\text{translation by } \vec{\alpha}) \left| \vec{p}, m \right\rangle = e^{i \vec{\alpha}.\vec{p}} \left| \vec{p}, m \right\rangle$$ (al igual que en la buena y antigua representación de momento de QM). Su número de giro determina cómo se transforma bajo una rotación : $$U_k(\text{rotation by } \vec{\theta}) \left| \vec{p}, m \right\rangle = \sum_{m^\prime} R^{(s_k)}_{mm^\prime}(\vec{\theta}) \left| R(\vec{\theta}) \vec{p}, m^\prime \right\rangle$$ con $R(\vec{\theta})$lo normal $3\times 3$matriz de rotación que actúa sobre $\vec{p}$y $R^{(s_k)}$un irrep del grupo de rotación $\mathcal{SO}(3)$.

La intuición detrás de esta forma de$U_k$es que el giro$s_k$captura la forma en que la partícula puede verse afectada por una rotación más allá de la rotación obvia de su impulsión$\vec{p}$. La analogía clásica aquí es la de un cuerpo rígido, que cambia no solo su posición sino también su orientación bajo una rotación.

La razón por la que el espín es un número entero es porque las irreps de$\mathcal{SO}(3)$están etiquetados por números enteros: spin-0 es la representación trivial$R^{(0)}(\vec{\theta}) = \text{id}, \forall \vec{\theta} \in \mathbb{R}^3$en un espacio vectorial unidimensional, spin-1 es la representación habitual por$3 \times 3$matrices, etc.

Giros de medio entero

Pero ahora hay un giro (en sentido figurado y matemático...). Como se mencionó en un comentario anterior de ACuriousMind, y como se explica con gran detalle en el hilo vinculado , la fase general de un estado cuántico no se puede medir físicamente . Esto significa que podemos salirnos con la nuestra con menos de una representación unitaria estricta de$G$en$\mathcal{H}$, y aún así garantizar que todos los resultados experimentales sean invariantes bajo$G$! Es decir, podemos reemplazar:

$$U(g\cdot h) = U(g) U(h) \text{ by } U(g\cdot h) = e^{i \varphi(g,h)} U(g) U(h)$$ con los factores de fase $\varphi(g,h)$satisfaciendo relaciones de consistencia adecuadas. Tales representaciones unitarias "hasta factores de fase adicionales" se denominan representaciones proyectivas .

Si uno hace las matemáticas, encontramos que para el grupo de Poincaré/Galilean esto da algunas posibles irrepeticiones adicionales, correspondientes a especies de partículas con espín medio entero . Corresponden a representaciones proyectivas del grupo de rotación en el que una rotación de$2\pi$tiene una acción no trivial (aunque no detectable) en el estado cuántico:

$$U_k(\text{rotation by } 2\pi) \left| \vec{p}, m \right\rangle = - \left| \vec{p}, m \right\rangle$$

¿Firma observable?

¡Pero espera! Si este signo menos adicional no es detectable físicamente de todos modos, ¿cómo sabemos que algunas partículas tienen un espín medio entero?

Esto tiene que ver con las propiedades de las medidas cuánticas , que revelarán el espectro (también conocido como valores propios) del observable medido. No podemos observar directamente que el vector de estado cuántico se transforma bajo una representación proyectiva, pero podemos determinarlo indirectamente porque queda impreso en el espectro del operador de momento angular.

¿Qué pasa con la mecánica clásica (no cuántica)?

Tome un sistema mecánico clásico, digamos, para ser concreto, un sistema de cuerpos rígidos que posiblemente interactúen a través de fuerzas conservativas . El espacio de fase de tal sistema lleva una representación no proyectiva$T$del grupo de Galileo (podemos comprobarlo escribiéndolo explícitamente). Pero esta representación no es una representación lineal (en el mejor de los casos puede ser una representación afín, ya que las traducciones actúan, pues, por traducciones). Entonces, girar en el sentido anterior no tiene sentido de inmediato.

En cambio, podemos hacer física estadística clásica para este sistema: es decir. escribir una ecuación de campo para una distribución de probabilidad $\rho$en el espacio de fase (que puede verse como la contraparte clásica de una función de onda mecánica cuántica). El espacio$\mathcal{P}$de tales distribuciones de probabilidad lleva naturalmente una representación lineal$U$de$G$definido por:

$$\forall g \in G,\; [U(g) \rho](x) = \rho\big(T(g^{-1})x\big)$$ que es, de nuevo, una representación no proyectiva (estrictamente hablando, las distribuciones de probabilidad admisibles son positivas y normalizadas, pero podemos estudiar sus propiedades de espín trabajando en el espacio vectorial que abarcan: esto es análogo a considerar todo el espacio de Hilbert en la mecánica cuántica , aunque los estados cuánticos reales deben normalizarse).

Entonces, ¿cuál sería un "modo de giro de medio entero" para tal sistema? De acuerdo con la definición de espín explicada anteriormente, sería una irrep de espín medio entero.$\mathcal{P}_k \subseteq \mathcal{P}, U_k := \left. U \right|_{\mathcal{P}_k}$que aparece en la descomposición de$\mathcal{P}, U$. ¿Puede tal$\mathcal{P}_k$¿existir? ¡No!

De hecho, si así fuera, tendríamos una distribución$\rho \in \mathcal{P}_k \setminus \{0\}$tal que

$$U(\text{rotation by } 2\pi) \rho = U_k (\text{rotation by } 2\pi) \rho = -\rho,$$ pero desde $U$es una representación no proyectiva , ya sabemos que $U(\text{rotation by } 2\pi) \rho = \rho$.

Un argumento similar se puede aplicar por ejemplo al campo electromagnético clásico: el espacio de soluciones de las ecuaciones de Maxwell lleva una representación lineal no proyectiva del grupo de Poincaré (se podría decir: por definición histórica de este último).

¿Qué pasa con un sistema termodinámico?

Supongamos que tomo una gran cantidad de cuerpos mecánicos que interactúan a través de fuerzas conservativas (por ejemplo, moléculas) y tomo el límite termodinámico para derivar ecuaciones efectivas para alguna variable macroscópica (por ejemplo, su densidad). ¿Podría tal ecuación exhibir modos semienteros? Es decir. ¿ podría su espacio de soluciones llevar una representación proyectiva de G? Hagamos un poco de experimento:

Tome dos cajas rigurosamente idénticas que contengan este sistema termodinámico y realice exactamente el mismo experimento con ellas, excepto que la segunda se somete primero a una prueba completa.$2\pi$-rotación ( muy lentamente , para no perturbar ningún equilibrio termodinámico (local)). Debido a que la teoría microscópica subyacente lleva una representación no proyectiva de G, ¡los dos experimentos deberían dar exactamente el mismo resultado!

Tenga en cuenta que en argumentos de este tipo, uno tiene que ser muy cuidadoso. El límite termodinámico puede hacer cosas divertidas con las simetrías de un sistema. Esto se conoce como ruptura de simetría : mientras que el espacio de soluciones de la teoría microscópica subyacente puede ser invariante bajo un cierto grupo$G$, una fase termodinámica dada puede tener menos simetría porque no logra explorar el espacio de solución completo (palabra clave: ergodicidad, o más precisamente falta de ella).

Pero tal mecanismo no puede convertir una representación no proyectiva en una proyectiva: dado que una$2\pi$-la rotación me devuelve exactamente a la misma configuración microscópica desde la que comencé, tengo la garantía de no aterrizar en una fase termodinámica diferente.

¿Podemos hacer trampa?

Supongamos que se me ocurre una descripción matemática de algún sistema clásico físicamente válido en el que, por razones técnicas, elijo introducir alguna cantidad auxiliar no medible (por ejemplo, una fase compleja). Dado que la cantidad auxiliar no es medible, puedo dejar que se transforme de la forma matemáticamente conveniente. De esta manera, puedo llegar a una descripción de un sistema clásico que exhibe una representación proyectiva.

Pero aún así , el sistema físico original no exhibirá ningún comportamiento observable de giro de medio entero. Como las cantidades verdaderamente medibles tienen que ser invariantes bajo un$2\pi$-rotación, debe existir una descripción básica del mismo sistema, que se abstenga de introducir cantidades auxiliares, y lleve una representación no proyectiva. Al calcular predicciones experimentales utilizando esta descripción básica, no deberían aparecer giros de medio entero.

TL; DR: Esto es crucialmente diferente del caso de mecánica cuántica discutido anteriormente, en el que puede ocultar una representación no proyectiva, para preservar$2\pi$-rotación-invariancia, mientras que, sin embargo, conserva alguna firma observable.

Bonificación: ¿La rotación de Wick en una ecuación cuántica da una ecuación termodinámica?

No creo que la rotación de Wick deba considerarse como una especie de transformación mágica para convertir una ecuación QM en una termodinámica.

Existe una conexión entre la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo de Minkowski 3+1d y la teoría estadística de campos en el espacio euclidiano 4d. Pero la física estadística (el estudio de la distribución de probabilidad sobre configuraciones (de campo)) no es lo mismo que la termodinámica (la derivación de ecuaciones efectivas para variables macroscópicas en el límite de gran número de partículas).

Sospecho que la aparición de la ecuación del calor como la ecuación de Schrödinger de tiempo complejo es más una coincidencia, debido al hecho de que, bueno, solo hay un número limitado de PDE lineales que se pueden escribir con un cierto orden en derivadas de espacio y tiempo.

Si desea investigar la ecuación de Dirac rotada por Wick de todos modos, supongo que un buen lugar para comenzar serían las matrices gamma rotadas por Wick . Obtendrá una ecuación de campo que lleva una representación proyectiva del grupo euclidiano 4d, claro. Pero la rotación de Wick de una ecuación cuántica físicamente válida no garantiza a priori ninguna relevancia física particular para la ecuación resultante: de hecho, tal ecuación no puede describir ningún sistema físico real, aunque solo sea porque, como señaló flippiefanus, no vivimos. en espacio euclidiano 4d ;-).

Con respecto a tu primera pregunta,

¿Me equivoco al pensar que el espín no tiene nada que ver ni con la relatividad ni con la mecánica cuántica?

tomemos giro para significar 'momento angular intrínseco'. Entonces podemos preguntar, ¿existe un modelo de espín galileano clásico consistente? ¿Existe una teoría del espín covariante de Lorentz clásica consistente? La respuesta es sí, a ambas preguntas.

Para el caso de Galileo, es bastante simple. Puede hacer mecánica hamiltoniana en cualquier variedad que tenga lo que se llama una estructura simpléctica. Afortunadamente, las dos esferas$S^2$admite precisamente tal estructura. Por lo tanto, la dinámica puede definirse, por ejemplo, mediante la función hamiltoniana

$$H = \frac{(\mathbf p - q\mathbf A)^2}{2m} + q\phi + \mu \mathbf B(\mathbf x) \cdot \mathbf S$$ y los corchetes de Poisson $$\{x_i, p_j\} = \delta_{ij} \quad \{s_i, s_j \} = \epsilon_{ijk} s_k.$$ (¿Ves cómo el corchete de Poisson para el espín es el mismo que la relación de conmutación para las matrices de Pauli? Por supuesto que no es una coincidencia, es porque $\mathfrak{su}(2) \sim \mathfrak{so}(3)$.) Las ecuaciones de movimiento son $$\dot f = \{ f, H\}$$ como siempre. Puede calcular que obtiene la fuerza de Lorentz habitual más una fuerza de gradiente, y el giro tiene una precesión alrededor $\mathbf B$.

Ahora, ¿qué pasa con el caso Lorentz? En realidad, tal teoría precede a la introducción de Pauli de sus famosas matrices. Fue publicado en forma covariante Frenkel en 1926 [1] y ese mismo año Thomas derivó su precesión homónima [2]. La ecuación de movimiento de Thomas para el espín fue redescubierta más tarde por Bargmann, Michel y Telegdi [3]. Thomas consideró solo campos homogéneos. RH Good [4] e IY Tamm (lamentablemente no tengo la referencia original en este momento, pero el artículo está en ruso de todos modos) extendieron esto a campos no homogéneos. El modelo de Frenkel y las ecuaciones de Tamm-Good se revisan en las Refs. [5, 6].

Ahora la pregunta es, por supuesto, ¿puedes distinguir entre modelos clásicos y cuánticos? Bueno, el experimento de Stern-Gerlach [7] hace eso. La historia real es un poco más complicada según los historiadores de la ciencia [8-10]. (Debo agregar un descargo de responsabilidad de que no he leído estos documentos en detalle porque no he tenido tiempo. Pero creo que los encontrará interesantes). Por otro lado, los experimentos de Bell y GHZ son bastante convincentes de que vivimos. en un mundo cuántico.

También podemos buscar los efectos de Stern-Gerlach en el régimen relativista usando el modelo de Frenkel/ecuaciones de Tamm-Good y comparándolos con un cálculo basado en la ecuación de Dirac. (Para evitar tener que usar QED completo, se debe usar la transformación de Foldy-Wouthuysen [11-14].) Weng, Bauke y Keitel [15] lo hicieron recientemente, mostrando que los electrones fuertemente relativistas en campos láser extremadamente intensos tienen diferentes movimientos según los modelos de Frenkel y Foldy-Wouthuysen. Según Weng, Bauke y Keitel, es plausible que la diferencia esté dentro de los límites experimentales, al menos con los láseres de próxima generación.

Referencias

[1] J. Frenkel, Nature 117, 653 (1926).

[2] LH Thomas, Nature 117, 514 (1926).

[3] V. Bargmann, L. Michel y VL Telegdi, Phys. Rev. Lett. 2, 435 (1959).

[4] RH Bien, Phys. Rev. 125, 2112 (1962).

[5] VG Bagrov y VA Bordovitsyn, Sov. física J. 23, 128 (1980).

[6] IM Ternov y VA Bordovitsyn, Sov. física Uspeji 23, 679 (1980).

[7] B. Friedrich y D. Herschbach, Phys. Hoy 56, 53 (2003).

[8] F. Weinert, Stud. hist. Filosofía Modificación. física 26, 75 (1995).

[9] D. Giulini, Stud. hist. Filosofía Modificación. física 39, 557 (2008).

[10] M. Morrison, Stud. hist. Filosofía Modificación. física 38, 529 (2007).

[11] LL Foldy y SA Wouthuysen, Phys. Rev. 78, 29 (1950).

[12] JP Costella y BHJ McKellar, Am. J. física. 63, 1119 (1995).

[13] AJ Silenko, médico. Rev. A 77, 12116 (2008).

[14] D.-W. Chiou y T.-W. Chen, 1 (2015).

[15] M. Wen, H. Bauke y CH Keitel, Sci. Rep. 6, 31624 (2016).

¿Me equivoco al pensar que el espín no tiene nada que ver ni con la relatividad ni con la mecánica cuántica?

El giro es parte del momento angular (la otra parte es el momento angular orbital). Viene de la parte del grupo de Lorentz que se ocupa de las rotaciones tridimensionales. Como tal, tiene razón, no tiene nada que ver con la relatividad especial, porque no involucra los impulsos.

También tiene razón en que no necesita involucrar la mecánica cuántica, porque las rotaciones también son relevantes en las teorías clásicas. De hecho, la idea de las relaciones de conmutación asociadas a las rotaciones ya fue propuesta por Hamilton en 1843, mucho antes del advenimiento de la mecánica cuántica.

Sabemos que la ecuación del calor está relacionada con la de Schrödinger por una rotación de Wick. ¿Cuál es el equivalente de una ecuación de Pauli o Dirac rotada por Wick?

La rotación de Wick convierte la dimensión temporal en una dimensión euclidiana, a diferencia de la dimensión temporal de Minkowski que se encuentra en la relatividad especial. No sé si alguien ha visto alguna vez la ecuación de Dirac de esta manera, pero uno puede intentar pensar qué significaría o representaría esto. [Trataré de agregar las matemáticas más tarde.] Una forma de pensar en la ecuación de Dirac, por ejemplo, es verla como la 'raíz cuadrada' de la ecuación de Klein-Gordon. Desde esta perspectiva, las matrices de Dirac se pueden derivar requiriendo que reproduzcan el tensor métrico al elevar al cuadrado la ecuación de Dirac para recuperar la ecuación de Klein-Gordon. En la versión rotada de Wick de la ecuación de Klein-Gordon, uno termina con una ecuación de Poisson de 4 dimensiones. Esto significa que la versión rotada de Wick de la ecuación de Dirac sería la raíz cuadrada de esta ecuación de Poisson de 4 dimensiones. Las matrices correspondientes (análogas a las matrices de Dirac) deben entonces reproducir la matriz identidad al elevar al cuadrado. La ecuación resultante representaría entonces una especie de giro en 4 dimensiones.

Por supuesto, se espera que sea una ecuación de campo clásica que limite la evolución de las variables macroscópicas de un sistema termodinámico, pero ¿cuál?

No estoy seguro de entender de dónde viene este 'por supuesto', pero la conexión con la termodinámica no me queda clara. No creo que la analogía entre la ecuación del calor y la ecuación de Schrödinger funcione en todos los casos con las rotaciones de Wick.

¿Existe una noción de espín asociada a los modos de campo clásicos que resuelven la ecuación anterior? ¿Cómo podemos probar una propiedad de giro 1/2 en tal caso?

Naturalmente, cuando uno impone una rotación de Wick, cambia las propiedades de simetría del sistema. Se pasa del espacio de Minkowski a un espacio euclidiano de 4 dimensiones. Por lo tanto, el grupo de simetría cambia del grupo de Lorentz SO(1,3) a SO(4). El primero contiene 6 generadores asociados a los tres impulsos y las tres rotaciones. Este último también ha sido bien estudiado (ver aquí ). Contiene las conocidas representaciones de espín en términos de subgrupos.

¿Existe alguna relación profunda entre linealizar una ecuación y la rotación de Wick?

Supongo que el término linealización se refiere al proceso que he llamado raíz cuadrada , que por ejemplo relaciona la ecuación de Dirac con la ecuación de Klein-Gordon. En este caso no creo que esto esté relacionado con la rotación de Wick. Este último cambia las propiedades del espacio en el que se definen las ecuaciones. Tampoco creo que el proceso de la raíz cuadrada que relaciona diferentes ecuaciones pueda verse como una 'raíz cuadrada de una geometría', a menos que la geometría en este contexto se refiera a la representación del espín. No cambia la naturaleza del espacio en el que se definen las ecuaciones, pero sí cambia el tipo de campos con los que trata la ecuación.

Esta no es una respuesta completa, pero mi idea sobre ese tema. Pauli-Matrizes (SU(2)) obedecen a las mismas relaciones de conmutación que las rotaciones espaciales (SO(3)). Esto se debe a que SU(2) es la cobertura universal de SO(3). Cuando se usan representaciones irreducibles de un grupo SO(n) dado, es esencial desechar la estructura del grupo específico y restringirse solo a la estructura del conmutador. Es decir, estas representaciones son las de la cobertura universal. Esto está bien para la física (cuántica), porque nuestras teorías son teorías locales y la estructura local del primer grupo es la misma que la de la cubierta universal.

Ahora viene el punto clave. SO(3) es a la vez un subgrupo del grupo de Galileo y del grupo de Poincaré. Entonces, al usar las representaciones proyectivas (como se señala en uno de los comentarios), ambas conducirán a SU (2) y, por lo tanto, girarán, siendo "parte" de la estructura del grupo unitario proyectivo.

Spin es una generalización de las rotaciones espaciales y, como tal, "parte" de las representaciones proyectivas del grupo de Galileo y el grupo de Poincaré.

Sin embargo, no tengo idea de esa parte de la rotación de Wick de su pregunta.

ACTUALIZACIÓN TARDÍA (en la Votación = -2), en relación con la Pregunta 1 de Issam, y en general:

AFAIK, nadie se refiere directamente, aquí, a la linealización de la ecuación de Schrödinger (a diferencia de la linealización del K-GE).

Es el tema de la Sección 4.2 del Capítulo 4 “Pauli Spinors” en la traducción al inglés de la pequeña joya de un texto de Jean Hladik “Spinors in Physics” (Springer, 1999), que proporciona algunos resúmenes concisos, escaneados aquí.

1) Su introducción en la p. 100, justo antes de la Sección 4.2 En el Cap. 4:

Fue la teoría de Pauli, y luego la de Darwin, que buscaba introducir el magnetismo del electrón de una manera conforme a la teoría de la relatividad definiendo cuatro funciones que representan los componentes de un vector de espacio-tiempo, lo que inspiró a Dirac a inventar su teoría del electrón relativista. . Dirac, examinando las teorías relativistas previas, llegó a una nueva hipótesis, que las ecuaciones que controlan la evolución de los componentes ψi de la función de onda deben ser de primer orden con respecto a las cuatro variables z, y, z, t, aunque la relativista las ecuaciones que generalizaban la ecuación de Schrödinger eran de segundo orden en estas variables. [ Este párrafo se incluye solo como contexto ]

A continuación se desarrolló la idea de linealizar la propia ecuación de Schrödinger, que inspiró los trabajos de Dirac y permitió recuperar las ecuaciones de Pauli en las que luego se introducía automáticamente el espín. La existencia de espín, por tanto, no es un efecto puramente relativista, sino que se convierte en una consecuencia de la linealización de las ecuaciones de onda. Vamos a establecer estas ecuaciones linealizadas a partir del artículo de Levy-Leblond (1967). [Mi negrita y cursiva]

2) La sección 4.2 concluye (lo siento, no tengo tiempo para escanear y corregir 5 páginas de matemáticas)

Así obtenemos la ecuación de Pauli en la que aparece el término (eħ/2mc) σ.B , y que representa la energía de interacción del campo magnético con el momento magnético intrínseco del electrón. Aunque Pauli había añadido este término en la ecuación de Schrödinger de tal forma que concordaran los resultados teóricos y experimentales, vemos que aquí el espín se introduce automáticamente como consecuencia del postulado de linealización de la ecuación de onda . Además, esta última teoría da el valor correcto del momento magnético intrínseco del electrón. [FIN DE LAS COTIZACIONES]

Para que quede claro: Hladik se ocupa de la ecuación de Dirac mucho más tarde, en el Capítulo 7, por lo que el tema de la Sección 4.2 no es el trabajo de Dirac como tal. [FIN DE LA ACTUALIZACIÓN TARDÍA]

RESPUESTA INICIAL (después de algunas ediciones anteriores): Este es un intento de responder a la Pregunta 4 del OP [la primera Respuesta, de cuando la Pregunta era "¿Linealización de giros y ecuaciones?"], a la luz de:

a) Comentario inicial de @ACuriousMind sobre la vaguedad de la Pregunta 4 de Issam (arriba)

b) La famosa (aunque algo gnómica) declaración de Michael Atiyah sobre los espinores y "la raíz cuadrada de la geometría" (ver, por ejemplo, la respuesta de JamalS a physics.stackexchange.com/questions/141995/how-should-i-think-about-the-dirac -ecuación )

y

c) la ausencia, hasta el momento, de una aclaración de su P. 4 del propio Issam:

Tal vez Issam simplemente está usando el lenguaje natural de manera bastante vaga. Vamos a examinarlo más de cerca…

¿Podría la “linealización” en la P. 4 referirse principalmente al desarrollo de su ecuación por parte de Dirac forzándola en el espacio y el tiempo de primer orden, dando como resultado soluciones espinoricas, y tal vez de manera más general a los 'operadores de Dirac'? Si es así, entonces es justo.

Para Wick Rotation, por otro lado, la P. 4 podría estar refiriéndose a la medida de distancia ds en el espacio de Minkowski como "linealizada" al sacar la raíz cuadrada de ( dτ^2+dx^2+dy^2+dz^2 ) cuando se convierte a una forma euclidiana al establecerlo = τ ( la multiplicación por el complejo i actúa como una rotación, por lo tanto, Wick Rotation ). Si bien uno podría describir esa expresión métrica/forma cuadrática, muy vagamente, como "linealizada" (aunque los términos de los componentes individuales todavía están elevados al cuadrado), sin embargo, el cono nulo en el espacio de Minkowski puede ser parametrizado por espinores.

Entonces, los espinores parecen proporcionar al menos un vínculo sugerente entre Wick Rotation y el uso de Issam de Linearization.

Y además de la sugerencia anterior de que se podría encontrar más uso a través de: physics.stackexchange.com/questions/21261/wick-rotation-and-spinors , @udrv ha sugerido últimamente (Comentario a continuación) que Issam puede encontrar la respuesta buscada, sobre las rotaciones de Wick de los campos de Dirac, a través de arxiv.org/abs/hep-th/9611043 y la revisión mencionada allí de la literatura anterior: arxiv.org/abs/hep-th/9608174 (mencionado por Qmechanic en su primer comentario en .. ./21261/...).

Espero que esto ayude a estimular una mayor discusión sobre los fundamentos del giro, sus descripciones y sus orígenes.