densidad de carga en un alambre

Si tenemos un alambre recto infinitamente delgado e infinitamente largo en el z -Eje con corriente dada I ( t ) , ¿cómo puedo calcular la densidad de carga?

Descubrí que la densidad de corriente está dada por j → ( r → , t ) = I ( t ) d ( X ) d ( y ) mi z → .

Pero, ¿cómo puedo calcular la densidad de carga? Pensé en la ecuación de continuidad, pero no entendí el término ∇ . j → = ∇ . ( I ( t ) d ( X ) d ( y ) mi z → ) =?? Por otro lado, traté de encontrar una relación "directa" entre la densidad de carga ρ y la corriente I ( t ) por ρ = d q d z = I d t d z . Pero esto parece absolutamente incorrecto. ¿Puedes darme un consejo?

Respuestas (4)

La densidad de carga neta es independiente de la densidad de corriente:

  1. Podría haber un conjunto de cargas de fondo positivas fijas que cancelen la contribución de carga de las cargas negativas en movimiento (que crean corriente), por lo que la densidad de carga neta es cero. (Este caso es exactamente el de un cable portador de corriente).
  2. Puede que solo haya cargas móviles. si todos tienen velocidad v y densidad de carga λ culombios por metro de longitud de cable, la corriente será i = λ v , o:
    λ = i / v

La densidad de carga dependerá de la resistividad del cable y de los potenciales en los extremos del cable. Lo siguiente es relevante: http://www.astrophysik.uni-kiel.de/~hhaertel/PUB/voltage_IRL.pdf

¡Gracias por su ayuda! Digamos que no tiene resistividad (infinitamente delgado) ni extremos (ya que es infinitamente largo). Tal vez uno pueda escribir de manera análoga ρ ( r , t ) = q ( t ) d ( X ) d ( y ) ?? pd: creo que la respuesta debe depender solo de I (t) como para la densidad actual
@Braten: No estoy seguro de estar de acuerdo. Imaginemos por un momento que el cable es extremadamente largo, pero aun así finito (un cable infinito simplemente no tiene sentido). El cable puede tener una carga total arbitraria, que puede tener una configuración estática (con una densidad de carga (lineal) constante en todas partes excepto cerca de los extremos). La corriente es cero para configuraciones estáticas para cualquier carga total. Por lo tanto, la corriente no determina la carga (densidad) únicamente. Debe definir los potenciales (con respecto al infinito) en los extremos (o al menos en un extremo, si conoce la resistividad, la longitud y la corriente).

La ecuación de continuidad es una buena idea para usar (pero, para ser advertido aquí, realmente no resolverá su problema. ¡Aquí está el por qué y lo que aún puede afirmar!): ∇ ⋅ j → = ∂ t ρ . Dos cosas que debes entender:

Cómo calcular la divergencia

Veamos tu expresión:

∇ ⋅ j → = ∇ ⋅ ( I ( t ) d ( X ) d ( y ) mi z → )

en realidad es bastante fácil. Si no comprende los siguientes pasos, lea acerca de la divergencia, el gradiente y el propio operador nabla.

Como solo tenemos un componente z en la corriente, la ecuación se reduce a

∇ ⋅ j → = ∂ z ⋅ ( I ( t ) d ( X ) d ( y ) mi z → ) = ∂ z I ( t )

Esto es, para un cable infinito, bastante especial, ya que no hay dependencia de z. Esto de un cable más pequeño (conectado a un condensador, por ejemplo) para dar sentido a lo anterior.

Cómo obtener la densidad de carga

esto es igual a − ∂ t ρ . Llegar ρ , solo integre con el tiempo y obtenemos:

∫ d t ∂ z I ( t ) = ρ + C o norte s t a norte t

Y esta constante, de la integral, es la parte crucial aquí (que otros también señalaron): no se puede determinar la carga absoluta , sino solo su cambio. Nunca podrá saber cuánta carga se queda allí pero no se mueve ( ∂ t ρ = 0 ).

Para su problema, ya que es bastante especial con el cable infinito (en realidad, cada cable cerrado tiene ∇ ⋅ j → = 0 ), conseguirás

ρ = C o norte s t a norte t

sí, bueno, al menos una declaración ... Determinar esa constante no es posible solo conociendo la actual (1. orden ODE -> 1 condición inicial requerida como ρ ( t = 0 ) = . . . )

Para evitar cualquier confusión con las corrientes: no hay acumulación de carga si la corriente permanece igual. Es cierto que una corriente se lleva la carga, pero también la trae en la misma cantidad. Solo si la corriente se lleva la carga pero no se trae ninguna, la densidad de carga cambiará con el tiempo. Pero esta es una divergencia que no desaparece de la corriente en ese punto (obviamente, como un poco antes de ese punto no hay corriente, después de ese punto la hay)

La densidad de carga localizada puede cambiar, por ejemplo, la carga superficial, pero la densidad de carga volumétrica no depende de ninguna manera de la corriente o el voltaje. La densidad de carga es la misma ya sea que el cable se encuentre en el patio trasero o se use en una bombilla. La carga simplemente se mueve, un electrón avanza hacia la derecha y luego ingresa un nuevo electrón desde la izquierda en el área que se está considerando.

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