Campo magnético en el centro de la esfera cargada giratoria

Question

Campo magnético en el centro de la esfera cargada giratoria

giobraco

Dejar $\Sigma$ ser una esfera de radio $R$ cargada con una densidad superficial uniforme $\sigma$ . Suponiendo que $\Sigma$ gira con velocidad angular constante $\omega$ , calcule el campo magnético en el centro de la esfera.

Suponer $\boldsymbol \omega = \omega \mathbf{\hat z}$ . Tenemos una corriente superficial.

k (r^{'}) = σ v (r^{'}) = σ ω \times ρ

$\mathbf K(\mathbf r') = \sigma \mathbf v(\mathbf r') = \sigma \boldsymbol \omega \times \boldsymbol \rho$ dónde

ρ

$\boldsymbol \rho$ es el vector que separa

r^{'}

$\mathbf r'$ del eje de rotación (el

z

$z$ eje). Ya que en coordenada esférica (

θ

$\theta$ longitud,

φ

$\varphi$ latitud) podemos escribir

ρ = R \cos φ \hat{r}

$\boldsymbol \rho = R \cos \varphi \mathbf{\hat r}$ , tenemos

k (r^{'}) = σ v (r^{'}) = σ ω R porque φ \hat{θ}

$\mathbf K(\mathbf r') = \sigma \mathbf v(\mathbf r') = \sigma\omega R\cos\varphi \boldsymbol{\hat \theta}$ El campo magnético en el origen está dado por

\begin{aligned} B (0) & = \frac{m_{0}}{4 π} \int_{Σ} \frac{k (r^{'}) \times (- R \hat{r})}{R^{3}} d a^{'} = \frac{m_{0}}{4 π} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \int_{0}^{2 π} \frac{σ ω R^{2} porque φ^{'} \hat{z}}{R^{3}} R^{2} porque φ^{'} d θ^{'} d φ^{'} \\ = \frac{m_{0} R σ ω}{2} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} {porque}^{2} φ^{'} d φ^{'} \hat{z} = \frac{π}{4} m_{0} R σ ω \hat{z} \end{aligned}

$\begin{split} \mathbf B(\mathbf 0) &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_\Sigma \frac{\mathbf K(\mathbf r') \times (-R \mathbf{\hat r})}{R^3} \mathop\!\mathrm{d}a' = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \int_0^{2\pi} \frac{\sigma\omega R^2\cos\varphi'\ \mathbf{\hat z}}{R^3} R^2\cos \varphi' \mathop\!\mathrm{d}\theta' \mathop\!\mathrm{d}\varphi' \\ &= \frac{\mu_0R\sigma\omega}{2}\int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \cos^2\varphi' \mathop\!\mathrm{d}\varphi'\ \mathbf{\hat z} = \frac{\pi}{4} \mu_0 R \sigma \omega \ \mathbf{\hat z} \end{split}$ Sin embargo, me dicen que la respuesta debería ser

B (0) = \frac{2}{3} m_{0} R σ ω \hat{z}

$\mathbf B(\mathbf 0) = \frac 2 3 \mu_0 R \sigma \omega\ \mathbf{\hat z}$ ¿En qué me equivoqué?

EDITAR: Gracias a los comentarios y la respuesta de secavara, descubrí mi error: mezclar coordenadas cilíndricas con integración esférica. En efecto $\boldsymbol{\hat \theta} \times \mathbf{\hat r}$ no es $\mathbf{\hat z}$ : tenemos

\hat{θ} \times \hat{r} = - \hat{φ} = - (porque φ \hat{z} - pecado φ \hat{tu})

$\boldsymbol{\hat \theta} \times \mathbf{\hat r} = - \boldsymbol{\hat \varphi} = - (\cos\varphi \mathbf{\hat z} - \sin \varphi \mathbf{\hat u})$ si denotamos con

\hat{u}

$\mathbf{\hat u}$ el vector unitario radial en coordenadas cilíndricas. Así que la integración debería ir

\begin{aligned} B (0) & = \frac{m_{0}}{4 π} \int_{Σ} \frac{k (r^{'}) \times (- R \hat{r})}{R^{3}} d a^{'} = \frac{m_{0}}{4 π} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \int_{0}^{2 π} \frac{σ ω R^{2} porque φ^{'} \hat{φ}}{R^{3}} R^{2} porque φ^{'} d θ^{'} d φ^{'} \\ = \frac{m_{0}}{4 π} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \int_{0}^{2 π} \frac{σ ω R^{2} porque φ^{'} (porque φ^{'} \hat{z} - pecado φ^{'} \hat{tu})}{R^{3}} R^{2} porque φ^{'} d θ^{'} d φ^{'} \\ = \frac{m_{0} σ ω R}{2} (\int_{- π / 2}^{+ π / 2} {porque}^{3} φ^{'} d φ^{'} \hat{z} - \int_{- π / 2}^{+ π / 2} pecado φ^{'} {porque}^{2} φ^{'} d φ^{'} \hat{tu}) \\ = \frac{m_{0} σ ω R}{2} (\frac{4}{3} \hat{z} - 0 \hat{tu}) = \frac{2}{3} m_{0} σ ω R \hat{z} \end{aligned}

$\begin{split} \mathbf B(\mathbf 0) &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_\Sigma \frac{\mathbf K(\mathbf r') \times (-R \mathbf{\hat r})}{R^3} \mathop\!\mathrm{d}a' = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \int_0^{2\pi} \frac{\sigma\omega R^2\cos\varphi'\ \color{red}{\boldsymbol{\hat \varphi}}}{R^3} R^2\cos \varphi' \mathop\!\mathrm{d}\theta' \mathop\!\mathrm{d}\varphi' \\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \int_0^{2\pi} \frac{\sigma\omega R^2\cos\varphi'\ (\cos\varphi' \mathbf{\hat z} - \sin \varphi' \mathbf{\hat u})}{R^3} R^2\cos \varphi' \mathop\!\mathrm{d}\theta' \mathop\!\mathrm{d}\varphi' \\ &= \frac{\mu_0\sigma\omega R}{2} \left(\int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \cos^3\varphi' \mathop\!\mathrm{d}\varphi'\ \mathbf{\hat z} - \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \sin \varphi' \cos^2\varphi' \mathop\!\mathrm{d}\varphi'\ \mathbf{\hat u} \right) \\ &= \frac{\mu_0\sigma\omega R}{2} \left(\frac 4 3\ \mathbf{\hat z} - 0\ \mathbf{\hat u}\right) = \frac 2 3 \mu_0\sigma\omega R\ \mathbf{\hat z} \end{split}$ y esta es la respuesta correcta. ¡Gracias!

secavara

Tenga cuidado con la transformación entre vectores unitarios de distintos sistemas de coordenadas. No estoy seguro de entender su convención para los ángulos, pero ¿tiene sentido que la corriente vaya en el

\hat{θ}

$\hat{\theta}$ ¿dirección?

giobraco

No veo por qué no debería: la esfera está girando alrededor del

z

$z$ eje, por lo que impulsa la densidad de carga en el

\hat{θ}

$\boldsymbol{\hat \theta}$ dirección (una "mota de carga" dibuja un círculo centrado en el eje vertical en el sentido contrario a las agujas del reloj). Deberíamos esperar que la corriente se desvanezca en los polos, y de hecho lo hace debido al término del coseno en la segunda ecuación

secavara

oh tu

θ

$\theta$ es el ángulo acimutal (con un rango de

2 π

$2\pi$ ) y tu

ϕ

$\phi$ es su ángulo polar (con un rango de

π

$\pi$ ), Ok, encuentro esta convención confusa, pero está bien. Es

\hat{r}

$\hat{r}$ el vector unitario radial esférico o el vector unitario radial cilíndrico?

giobraco

Esférico. Mi convención para los componentes es

{\begin{cases} X = r porque φ porque θ \\ y = r porque φ pecado θ \\ z = r pecado φ \end{cases}

$\begin{cases} x = r\cos\varphi\cos\theta \\ y = r\cos\varphi\sin\theta \\ z = r\sin\varphi \end{cases}$

Respuestas (1)

Campo magnético en el centro de la esfera cargada giratoria

Tenga cuidado con la transformación entre vectores unitarios de distintos sistemas de coordenadas. No estoy seguro de entender su convención para los ángulos, pero ¿tiene sentido que la corriente vaya en el $\hat{\theta}$ ¿dirección?
No veo por qué no debería: la esfera está girando alrededor del $z$ eje, por lo que impulsa la densidad de carga en el $\boldsymbol{\hat \theta}$ dirección (una "mota de carga" dibuja un círculo centrado en el eje vertical en el sentido contrario a las agujas del reloj). Deberíamos esperar que la corriente se desvanezca en los polos, y de hecho lo hace debido al término del coseno en la segunda ecuación
oh tu $\theta$ es el ángulo acimutal (con un rango de $2\pi$ ) y tu $\phi$ es su ángulo polar (con un rango de $\pi$ ), Ok, encuentro esta convención confusa, pero está bien. Es $\hat{r}$ el vector unitario radial esférico o el vector unitario radial cilíndrico?
Esférico. Mi convención para los componentes es ${\begin{cases} X = r porque φ porque θ \\ y = r porque φ pecado θ \\ z = r pecado φ \end{cases}$ $\begin{cases} x = r\cos\varphi\cos\theta \\ y = r\cos\varphi\sin\theta \\ z = r\sin\varphi \end{cases}$

secavara · Answer 1

secavara

Ok, creo que finalmente lo entendí. Estoy tan acostumbrado a mi convención que tuve que hacerlo en la mía y luego traducirla a la tuya. Te falta un factor adicional de $\cos \phi$ en el integrando: tienes uno proveniente de la corriente, uno del elemento de volumen y uno del producto cruzado entre $\hat{\theta}$ y $\hat{r}$ .

giobraco

¿Por qué aparece el tercer término del coseno? no es el triple

\hat{r}, \hat{θ}, \hat{z}

$\mathbf{\hat r}, \boldsymbol{\hat \theta}, \mathbf{\hat z}$ ortonormal?

secavara

No. En su convención, los triples ortonormales son

\hat{θ}, \hat{z}, \hat{ρ}

$\hat{\theta},\hat{z},\hat{\rho}$ (cilíndrico) o

\hat{θ}, \hat{ϕ}, \hat{r}

$\hat{\theta},\hat{\phi},\hat{r}$ (esférico).

giobraco

¡Ay! Eso fue una tontería de mi parte. ¡Gracias por su ayuda!

Campo magnético en el centro de la esfera cargada giratoria

giobraco

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secavara

giobraco

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